Question

De um grupo de 12 homens e 8 mulheres, retiram-se 4 pessoas para formar uma comissão. a) Pelo menos uma mulher fazer parte da comissão. b) Uma mulher fazer parte da comissão. c) Haver pessoas dos dois sexos na comissão

Answer 1

a) Para que haja PELO MENOS uma mulher na comissão, o modo mais fácil de se calcular é subtrair o total de comissões pela quantidade de comissões feitas somente de homens:

Total de comissões:

$C_{20,4} \\\\= \cfrac{20!}{16!4!} \\\\= \cfrac{20 \cdot19\cdot18\cdot17\cdot16!}{16!\cdot4\cdot6} \\\\= 5\cdot19\cdot3\cdot17\\\\= 4845$

Comissões de homens:

$C_{12,4}\\\\= \cfrac{12!}{8!4!} \\\\= \cfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 12 \cdot 2} \\\\= 11 \cdot 5 \cdot 9\\= 495$

Portanto: $4845 - 495 = 4350$

b) É a quantidade de modos de escolher 1 mulher entre 8 multiplicado pelos modos de escolher 3 homens entre 12. Portanto:

$C_{8,1} \cdot C_{12,3}\\\\= \cfrac{8!}{7!1!} \cdot \cfrac{12!}{9!3!} \\\\= 8 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 10\\\\= 1760$

c) Haver pessoas dos dois sexos é o total subtraído das comissões somente de homens e somente de mulheres. O total menos as de homens já foi calculado na letra a), agora basta subtrair daquele número as comissões femininas:

$4350 - C_{8,4}\\= 4350 - \frac{8!}{4!4!} \\= 4350 - 7 \cdot 2 \cdot 5\\= 4350 - 70\\= 4280$

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