Question

Por favor me ajudem é urgente, é para amanhã.
2) Se
$\sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} }$
então ao simplificar
$\sqrt[]{ \frac{32}{27} }$
qual é o resultado?
Se puder colocar a resolução me ajudaria muito ​

Answer 1

Com base nas propriedades da radiciação, concluímos que:

$\large \text { \sqrt{\dfrac{32}{27}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3} } }$

→ Para simplificar uma raiz, em especial as não exatas, precisamos fatorar o radicando (o número que estamos extraindo a raiz) em números primos.

A partir daí agrupamos, os primos iguais, de acordo com o índice da raiz, ou seja:

. Para raiz quadrada ⇒ agrupamento de primos = Dois em dois;

. Para raiz cúbica ⇒ agrupamento de primos = Três em três.

⇒ Isso é feito para podermos "cortar" o índice da raiz com o expoente.

Conforme já dado na questão:

    $\large \text { \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a} }{\sqrt[n]{b} } }$

Então:

$\large \text { \sqrt[2]{\dfrac{32}{27}} = \dfrac{\sqrt[2]{32} }{\sqrt[2]{27} } }$

Para simplificar, vamos fatorar cada um dos radicandos:

        $\begin{tabular}{ c | c}32 & 2\\16 & 2\\8 & 2\\4 & 2\\2 & 2\\1 & \end{tabular}$                                                      $\begin{tabular}{ c | c}27 & 3\\9 & 3\\3 & 3\\1 & \end{tabular}$

$\large 32= 2~. ~2~.~2~.~2~.~2$                               $\large 27 = 3~.~3~.~3$

Como se trata de raiz quadrada, vamos agrupar de 2 em 2

$\large 32= 2^2~.~2^2~.~2$                                        $\large 27 = 3^2~.~3$

Dessa forma podemos concluir que:

$\large \sqrt[2]{32} = \sqrt[2]{2^2~.~2^2~.~2}$                               $\large \sqrt[2]{27} = \sqrt[2]{3^2~.~3}$

$\large \text { \sqrt[2]{32} = \sqrt[\backslash\!\!\!2]{2^{\backslash\!\!\!2}} ~.~ \sqrt[\backslash\!\!\!2]{2^{\backslash\!\!\!2}}~. ~\sqrt[2]{2} }$                         $\large \text { \sqrt[2]{27} = \sqrt[\backslash\!\!\!2]{3^{\backslash\!\!\!2}}~.~ \sqrt[2]{3} }$            

$\large \sqrt[2]{32} = 2~.~2~.\sqrt[2]{2}$                                      $\large \sqrt[2]{27} = 3~.~ \sqrt[2]{3}$        

$\large \text { \sqrt[2]{32} = \boxed{4\sqrt[2]{2}} }$                                               $\large \text { \sqrt[2]{27} = \boxed{3 \sqrt[2]{3}} }$

Logo o resultado simplificado é:

$\large \text { \sqrt{\dfrac{32}{27}} = \dfrac{\sqrt{32} }{\sqrt{27} } = \boxed{ \dfrac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3} } } }$

Estude mais sobre radiciação:

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