A GRANDE ESCALADA. Um piloto de avião de acrobacias participa regularmente de importantes campeonatos nessa modalidade aérea. Com o intuito de melhorar o desempenho de sua aeronave nas próximas competições, o piloto pretende criar uma nova manobra chamada “Big Climb”, ou em tradução livre, a Grande Escalada. Para realizar tal manobra, o avião necessita subir até determinada altura, depois descer na mesma razão para, no fim, realizar uma grande subida com força total do motor. A ousadia dessa manobra reside no fato de que, na subida final, o avião inclina-se verticalmente de forma acentuada, o que pode gerar a perda de sustentação nas asas, fazendo que a aeronave comece a descer de maneira descontrolada. A fim de minimizar riscos, o piloto utilizará um programa de computador para simular as diferentes possibilidades de distâncias e ângulos a serem testados. O objetivo é certificar previamente que não haverá problemas durante o “Big Climb”. Após esses estudos, o piloto testará os resultados da simulação digital de forma real no avião. Na simulação que gerou os melhores resultados, o trajeto a ser percorrido pelo avião está definido conforme figura abaixo. Após um estudo de regressão polinomial, a trajetória do avião ficou representada por x^3 + 4x^2 + x – 6. Como a manobra é aérea, o piloto precisa estabelecer medidas adicionais dessa trajetória. Para isso, ele necessitará visualizar tal trajetória dentro de um plano cartesiano específico. Encontrar os pontos onde a trajetória do avião interceptará o eixo horizontal do plano cartesiano é de fundamental importância, pois no trecho do vértice da subida inicial, esses valores servirão de referência para o piloto monitorar algumas condições técnicas do avião. Já na subida final, o valor servirá para alertar sobre o momento em que a força do motor deverá ser total. QUESTÃO – Em quais pontos (coordenadas x,y) o piloto irá monitorar as condições técnicas do avião e em qual irá colocar força total no motor? É FUNDAMENTAL A RESOLUÇÃO COMPLETA COM TODOS OS CÁLCULOS.
Respostas
Resposta:
O piloto irá monitorar as condições técnicas do avião:
* Antes e no ponto A(-2,54; 0,88)
* Entre os pontos A(-2,54; 0,88) e no B(-0,13; -6,06)
* E depois do ponto B(-0,13; -6,06)
A partir do ponto B o piloto irá colocar força total no motor.
Explicação passo a passo:
A trajetória do avião f(x):
f(x) = x³+4x²+x-6
Vamos encontrar o máximo e o mínimos da função. Para isso vamos aplicar a derivada f'(x):
f'(x) = 3x²+8x+1 = 0
as raízes são x' ≈ -2,54 e x ≈ -0,13
A sua segunda derivada f''(x):
f''(x) = 6x+8
Ponto A (ver figura)
Para x = x'= -2,54
f''(-2,54) = 6.(-2,54)+8 = -15,24+8= - 7,24
Como f''(x) < 0 então temos um máximo:
x = -2,54
f(-2,54) = (-2,54)³+4(-2,54)²+(-2,54)-6 = 0,88
O ponto A(-2,54; 0,88)
Ponto B (ver figura)
Para x = x''= --0,13
f''(-0,13) = 6.(-0,13)+8 = -0,78+8= 7,22
Como f''(x) > 0 então temos um mínimo:
x = -0,13
f(-0,13) = (-0,13)³+4(-0,13)²+(-0,13)-6 = -6,06
O ponto B(-0,13; -6,06)
Obs. Podemos fazer também um gráfico para conferir os pontos calculados (ver em anexo)
