Question

Marque a alternativa que representa corretamente a integral ∬ S c o s ( x 2 + y 2 ) d x d y , onde S = { ( x , y ) / x 2 + y 2 ≤ 4 e x ≥ 0 } (Ref.: 202108584327) x 2 ∫ x 2 2 ∫ 0 ρ 3 d θ d ρ x 2 ∫ 0 2 ∫ 0 c o s ( ρ 2 ) d ρ d θ x 2 ∫ x 2 2 ∫ 0 ρ c o s ( ρ 2 ) d ρ d θ π ∫ 0 2 ∫ 0 ρ s e n ( ρ 2 ) d ρ d θ x 2 ∫ x 2 2 ∫ 0 ρ c o s ( ρ 2 ) d θ d ρ

Answer 1

Após ter passado para coordenadas polares, a integral dupla apresentada fica assim: $\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \int\limits^{2}_0 {r.cos(r^2)} \, drd\theta$.

Como se achar a integral dupla?

Para calcular a integral dupla representada podemos passar a equação para coordenadas polares, nesse caso, temos as equivalências a seguir:

$r^2=x^2+y^2\\\\dxdy=rdrd\theta$

Substituindo estas equivalências, a expressão da integral dupla fica assim:

$\int\limits^{}_{} \int\limits^{}_S {r.cos(r^2)} \, drd\theta$

Como temos $x^2+y^2\leq 4$, isso equivale a considerar $r^2\leq 4= > r\leq 2$, ou seja, os límites para o raio são 0 e 2. Ao ter também $x\geq 0$, os límites para o argumento serão $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$. Na integral apresentada podemos aplicar o método da substituição fazendo $u=r^2$, então, podemos substituir o diferencial do raio por $du=2rdr$, então se tem:

$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \int\limits^{2}_0 {r.cos(r^2)} \, drd\theta=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \int\limits^{4}_0 {cos(u)} \, du.d\theta$

Mais exemplos das coordenadas polares em https://brainly.com.br/tarefa/23508919

#SPJ1