Question

Qual a soma dos infinitos termos, S= 1+$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{16}$+$\frac{15}{64}$+...+2^(n)-1/ 2^(2n-2)+... é:

Answer 1

Resposta:

·           S = 8/3

Explicação passo a passo:

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·           S = 1 + 3/4 + 7/16 + 15/64 + ... + (2^n - 1)/2^(2n - 2) + ...

·           S = ∑ [(2^n - 1)/2^(2n - 2) ; n = 1 para ∞]

·           S = ∑ [(2^n - 1)/(2^(2n) * 2^(-2))]

·           S = 1/2^(-2) * ∑ [(2^n - 1)/2^(2n)]

·           S = 2^2 * ∑ [2^n/2^(2n) - 1/2^(2n)]

·           S = 4 * ∑ [(2/2^2)^n - (1/2^2)^n)]

·           S = 4 * ∑ [(1/2)^n - (1/4)^n)]

·           S = 4 * { ∑ [(1/2)^n] - ∑ [(1/4)^n)] }

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·          (Teste da série geométrica)

·           ∑ [(1/2)^n] - (1/2)^0 ; n = 0 para ∞

·           = 1/(1 - 1/2) - 1 = 1/(1/2) - 1 = 2 - 1 = 1

·           ∑ [(1/4)^n] - (1/4)^0 ; n = 0 para ∞

·           = 1/(1 - 1/4) - 1 = 1/(3/4) - 1 = 4/3 - 1 = 1/3

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·           S = 4 * { 1 - 1/3 }

·           S = 4 * 2/3

·           S = 8/3