Question

Escreva o número complexo na forma trigonométrica :

Z= -5√2 + 5 √ 2i

Answer 1

Resposta:

Dado o número complexo:

$z = -5\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\,i,$

onde $a = -5\sqrt{2}$  e  $b = 5\sqrt{2},$

calculemos seu módulo:

$|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{(-5\sqrt{2})^{2} + (5\sqrt{2})^{2} } = \sqrt{50 + 50} = \sqrt{100} = 10.$

Podemos escrever a e b em função de $\beta$ e $|z|$ utilizando a trigonometria no triângulo retângulo:

$sen \beta = \frac{b}{|z|} = \frac{5\sqrt{2} }{10} = \frac{\sqrt{2} }{2};\\\\cos \beta = \frac{a}{|z|} = \frac{-5\sqrt{2} }{10} = -\frac{\sqrt{2} }{2}.$

Assim, $\beta$ = 135º.

Substituindo as duas igualdades acima na forma algébrica de $z$, teremos:

$z = |z|\,cos\beta + |z|\,sen\beta \,.\,i\\\\z = |z|(cos\beta + i\,.\,sen\beta )\\\\z = 10(cos\,135^{o} + i\,.\,sen\,135^{o}).$