Método das projeções ortogonais
Assim como qualquer número real pode ser obtido a partir da soma de outros dois números, qualquer vetor pode ser obtido a partir da soma de outros dois vetores ortogonais, denominados componentes do vetor. A vantagem em trabalhar com vetores ortogonais é a possibilidade de aplicar diretamente o teorema de Pitágoras.
Componentes ortogonais do vetor F;
F=FX+FY
F²= FX²+FY²
As componentes Ę e F, também são vetores. A componente Ę tem direção do eixo Ox, e a Fy tem direção do eixo Oy. Contudo, para o caso de vários vetores, podemos adicionar vetorialmente todas as componentes na direção do eixo x e também, separadamente, obter a soma de todas as componentes na direção do eixo y, usando operações algébricas. Chamamos de projeção a medida algébrica do segmento que a componente determina no eixo, de acordo com os seguintes critérios:
se o sentido da componente concorda com a orientação do eixo, a projeção é positiva;
se o sentido da componente for contrário à orientação do eixo, a projeção é negativa.
A soma das projeções no eixo x corresponde à projeção da resultante nesse eixo, o que também acontece no eixo y.
Determinamos, assim, a soma das projeções no eixo Ox (R) e a soma das projeções no eixo Oy (R). Portanto, o módulo do vetor soma pode ser obtido pelo teorema de Pitágoras: R² = R + R3.
Exemplo para estudo de caso:
Em determinado intervalo de tempo, durante uma partida de futebol, os deslocamentos de um jogador foram representados por vetores. Primeiro, ele se deslocou 4m para frente; depois, 10m para esquerda; em seguida, 5m em direção inclinada, 6m para trás; e, finalmente, 2m para direita. A figura a seguir representa esses deslocamentos utilizando vetores com uma origem comum. O módulo de cada um desses vetores está indicado na figura.
a) Considere sena 0,6 e cosa 0,6 e cosa = 0,8 e determine R = A + B + C + D +Ē, usando o método das projeções.
b) Determine os componentes ortogonais nas direções do eixo Ox e Oy de cada um dos deslocamentos.
c) Represente o vetor correspondente à soma de todos esses deslocamentos utilizando as projeções obtidas. Terminada essa sequência de deslocamentos, a quantos metros estará o jogador do ponto de partida?
Respostas
Resposta:
A4m+B2m+C6m+D5m =1 5m
portanto, o módulo do vetor pode ser obtido
pelo teorema de Pitágoras: R2=R+R3
Resposta:
Explicação passo a passo:
a) O vetor R será (-12,-5)
b) As componentes ortogonais na direção do eixo 0x são: 0, 2, 0, -4, -10 e as componentes ortogonais na direção do eixo 0y são: 4, 0, -6, -3, 0.
c) O vetor correspondente à soma de todos os deslocamentos é dada por R (-12,-5). A distância do ponto de partida até o ponto final de deslocamento de jogar é 13 metros.
Vetores
No R², um vetor pode ser projetado no eixo X e no eixo Y. Essa projeção é calculada da seguinte maneira:
Projeção no eixo X
Vx = V.cos(β)
Projeção no eixo Y
Vy = V.sen(β)
Onde:
V é o módulo do vetor
Vx é a projeção do vetor V no eixo X
Vy é a projeção do vetor V no eixo Y
β é o ângulo que o vetor faz com o eixo Y
a) No eixo X, temos:
Rx = Ax + Bx + Cx + Dx + Ex ⇔ Rx = 0 + 2 + 0 + (-5)*cos(α) + (-10)
Rx = 2 - 5*0,8 - 10 = -8 - 4
Rx = -12
No eixo Y:
Ry = Ay + By + Cy + Dy + Ey = 4 + 0 + (-6) + (-5)*sin(α) + 0 = 4-6-5*0,6
Ry = -2-3
Ry = -5
Portanto R é (-12,-5).
b) Componente ortogonal no eixo 0x:
Ax = A.cos(A) = 4.cos(90) = 4.0
Ax = 0
Bx = B.cos(B) = 2.cos(0) = 2.1
Bx = 2
Cx = C.cos(C) =6.cos(90) = 6.0
Cx = 0
Dx = D.cos(α) = -5.0,8
Dx = -4
Ex = E.cos(E) = -10.cos(0) = -10.1
Ex = -10
Componente ortogonal no eixo 0y:
Ay = A.sen(A) = 4.sen(90) = 4.1
Ay = 4
By = B.sen(B) = 2.sen(0) = 2.0
Ay = 0
Cy = C.sen(C) = -6.sen(90) = -6.1
Cy = -6
Dy = D.sen(α) = 5.sen(α) = -5.0,6
Dy = -3
Ey = E.sen(E) = -10.sen(0) = -10*0
Ey = 0
c) Na letra "a", encontramos os valores da soma entre todos vetores, que representa a sequência de deslocamentos de um jogador. Portanto, o vetor correspondente à soma de todos os vetores é R = (-12,-5).
A distância entre o ponto de partida e o ponto final do jogador é dado por:
d =
d = 13m