Question

Efetua-se uma rotação de eixos de um ângulo θ∈[0, π/2] no sistema original.Sabendo que, em relação ao sistema original, o ponto Pé dado por (5,√3) e que, emrelação ao novo sistema, Pé dado por (4,−2√3), determine o ângulo θ

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ângulo de rotação dos eixos coordenados procurado é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}\,\textrm{rad}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos cartesianos:

                $\Large\begin{cases} P = (5, \sqrt{3})\\P'= (4, - 2\sqrt{3})\end{cases}$

Sabendo que a rotação dos eixos coordenados pode se dá de acordo com o seguinte sistema de equações do primeiro grau:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$             $\Large\begin{cases} x= x'\,\cos\theta - y'\,\sin\theta\\y = x'\,\sin\theta + y'\,\cos\theta\end{cases}$

Substituindo as coordenadas no sistema dado, temos:

         $\Large\begin{cases} 5 = 4\cos\theta - (-2\sqrt{3})\sin\theta\\\sqrt{3} = 4\sin\theta + (-2\sqrt{3})\cos\theta\end{cases}$

Organizando o sistema temos:

        $\Large\begin{cases} 5 = 4\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bf I\\\sqrt{3} = 4\sin\theta - 2\sqrt{3}\cos\theta\:\:\:\:\:\:\bf II\end{cases}$

Isolando "cos θ" na equação "I" do sistema, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \cos\theta = \frac{5 - 2\sqrt{3}\sin\theta}{4}\end{gathered} }$

Inserindo o valor de "cos θ" na equação "II" do sistema e simplificando os termos, temos:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{3} = 4\sin\theta - 2\sqrt{3}\cdot\bigg(\frac{5 - 2\sqrt{3}\sin\theta}{4}\bigg)\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{3} = 4\sin\theta - \frac{10\sqrt{3} + 12\sin\theta}{4}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{3} = \frac{16\sin\theta - 10\sqrt{3} + 12\sin\theta}{4}\end{gathered} }$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4\sqrt{3} = 28\sin\theta - 10\sqrt{3}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 28\sin\theta = 4\sqrt{3} + 10\sqrt{3}\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sin\theta = \frac{14\sqrt{3}}{28}\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered} }$

Substituindo o valor do seno na equação "III", temos:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \cos\theta = \frac{5 - 2\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{4}\end{gathered} }$

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \cos\theta = \frac{5 - \dfrac{{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot(\sqrt{3})^{2}}{\!\diagup\!\!\!\!2}}{4}\end{gathered} }$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cos\theta = \frac{5 - 3}{4}\end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cos\theta = \frac{1}{2}\end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\cos\theta = \frac{1}{2}\end{gathered}$    

✅ Portanto, o ângulo procurado que satisfaz ao intervalo...

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} I = \left[0, \,\pi/2\right]\end{gathered}$

...é o ângulo cujo seno  e cosseno são respectivamente:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta: \Large\begin{cases} \sin\theta = \sqrt{3}/2\\\cos = 1/2\end{cases}\Longrightarrow \theta = 60^{\circ}= \frac{\pi}{3}\,\textrm{rad}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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