Question

(Aritmética: Números primos – primos de Mersenne)

Seja p um número natural, p > 1. Mostre que

    se $2^p-1$ é primo, então p é primo.​

Answer 1

Temos que demonstrar que se $2^p - 1$ é primo, p não pode ser composto.

Nesse caso, tratando p como composto, temos que p pode ser escrito como:

$p = nm$, com $n > 1$ e $m > 1$

Portanto:

$2^p - 1\\= 2^{mn} - 1\\= (2^m)^n - 1\\= y^n - 1$

"Se um polinômio $P(y)$ tem como uma de suas raízes $y = a$, então $P(y)$ é divisível por $(y - a)$"

Sendo "a" uma das soluções:
$a^n - 1 = 0\\a^n = 1\\a = 1$

Então:
$y^n - 1 = (y - 1) \cdot q_y$

Ou seja, para que, com p composto, $2^p - 1$ seja primo, $(y - 1) \cdot q_y$ deve ser primo. Será demonstrado a seguir que $(y-1)$ não pode ser $1$ e tampouco $y^n-1$ :

$(y-1) = 1$ somente com $y = 2$. Mas como $y = 2^m$, e $m > 1$, logo $2^m > 2$, ou também, $y > 2$.

E quanto à outra afirmação:
$1 < n\\m < mn\\2^m < (2^m)^n\\2^m - 1 < (2^m)^n - 1\\(y -1 ) < (y^n - 1)$

Logo, se $2^p - 1$ é primo, $p$ é primo.