Question

Uma esfera sólida uniforme de raio r= 3,4 cm é colocada na superfície interna de uma tigela hemisférica de raio R= 39,5 cm. A esfera é liberada do repouso a um ângulo = 39,8 com a vertical e rola sem escorregar (Figura). Determine a velocidade angular (em rad/s) da esfera quando ela chega ao fundo da tigela.

A)

44,8
B)

43,3
C)

41,1
D)

39,3
E)

42,1
F)

31,8
G)

22,3
H)

18,2
I)

35,6
J)

38,3

Answer 1

A velocidade angular da esfera no fundo da tigela hemisférica é de 33,3 radianos por segundo.

Como se achar a velocidade angular da esfera?

Se a esfera for liberada a um ângulo $\alpha$ com a vertical em uma tigela hemisférica de raio R, a altura inicial da esfera é:

$h=R(1-cos(\alpha))$

Como a energia potencial da esfera torna-se energia cinética translacional e energia cinética rotacional, a equação da conservação da energia mecânica da esfera é:

$M.g.h=\frac{1}{2}M.v^2+\frac{1}{2}.I.w^2\\\\M.g.h=\frac{1}{2}M.v^2+\frac{1}{2}.I.\frac{v^2}{r^2}$

Nessa expressão podemos substituir a expressão do momento de inércia de uma esfera sólida:

$M.g.h=\frac{1}{2}M.v^2+\frac{1}{2}.\frac{2}{5}Mr^2.\frac{v^2}{r^2}\\\\g.h=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{5}.v^2\\\\g.h=v^2(\frac{1}{2}+\frac{1}{5})$

A partir desta expressão podemos calcular a velocidade tangencial da esfera no ponto mais baixo da tigela:

$v=\sqrt{\frac{gh}{(\frac{1}{2}+\frac{1}{5})}}=\sqrt{\frac{9,81\frac{m}{s^2}.R(1-cos(\alpha))}{\frac{7}{10}}}\\\\v=\sqrt{\frac{9,81\frac{m}{s^2}.0,395m.(1-cos(39,8))}{\frac{7}{10}}}\\\\v=1,13\frac{m}{s}$

A velocidade angular da esfera no fundo da tigela é:

$w=\frac{v}{r}=\frac{1,13\frac{m}{s}}{0,034m}=33,3s^{-1}$

Mais exemplos de momento de inércia em https://brainly.com.br/tarefa/19166326

#SPJ1