Question

o triângulo de vértices A( -2, -4), B (1, -1) e C (x,y) tem 9 unidade de área. Sabendo que o ponto C pertence à reta de equação r: -3 + y -6= 0, determine a altura desse triângulo em relação ao lado AC.​

Answer 1

Resposta:

h = 9√2/5 u.c. ou h = 9√146/73 u.c.

Obs. u.c.  = unidade de comprimento

Explicação passo a passo:

A área de um triângulo (A):

$\displaystyle det=\left[\begin{array}{ccc}-2&-4&1\\1&-1&1\\x&y&1\end{array}\right] \\\\\\det=(-2).(-1).1+(-4).1.x+1.y.1-x.(-1).1-1.(-4).1-y.1.(-2)=2-4x+y+x+4+2y=-3x+3y+6\\\\Onde~a~\acute{a}rea~(A)\\\\ A=\frac{|det|}{2} =\frac{|-3x+3y+6|}{2}=9$

|-3x+3y+6|=18

1a solução:

-3x+3y+6=18

-3x+3y=18-6=12  (÷3)

-x + y = 4

2a solução:

-3x+3y+6= -18

-3x+3y= -18-6 = -24  ÷(-3)

x - y = 8

Chamando de s a 1a solução:

s: -x + y = 4 (I)

r: -3x + y = 6 (II)

Para resolver o sistema formado por (I) e (II) faça (II)-(I):

-3x-(-x)+y-y=6-4

-3x+x=2

-2x=2

x= -2/2 = -1

Substituindo x=-1 em (I)

-(-1) + y = 4

y = 4-1 = 3

C(-1,3)

Veja o triângulo formado com os pontos A(-2, -4), B(1, -1) e C(-1,3). A altura desse triângulo em relação ao lado AC corresponde ao h:

Equação da reta AC:

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\-2&-4&1\\-1&3&1\end{array}\right] =0\\\\\\\left[(-4).1-3.1\right]x-\left[(-2).1-(-1).1\right]y+(-2).3-(-1).(-4)=0\\\left[(-4)-3\right]x-\left[(-2)-(-1)\right]y+(-6)-4=0\\-7x + y - 10=0$

Distância do ponto B(1, -1) a reta -7x+y-10=0:

d = |axo+byo+c|/√a²+b²

Substituindo os valores:

h = |-7(1)+(-1)-10|/√(-7)²+1²

h = |-18|/√49+1

h = 18/√50

Fatorar 50

50|2

25|5

5|5

1|1

50=2.5.5=2.5²

h = 18/√50 = h = 18/√2.5²=18/(√5².√2)=18/(5√2)=18/(5√2).[(√2)/(√2)]=18.√2/5.2=9√2/5

Chamando de t a 2a solução:

t: x - y = 8 (III)

r: -3x + y = 6 (II)

Para resolver o sistema formado por (III) e (II) faça (III) + (II):

-3x+x+y-y=8+6

-2x=14

x= -14/2 = -7

Substituindo x = -7 em (II):

-3(-7) + y = 6

21+y=6

y=6-21 = - 15

C(-7, -15)

Veja o triângulo formado com os pontos A(-2, -4), B(1, -1) e C(-7, -15). A altura desse triângulo em relação ao lado AC corresponde ao h:

Equação da reta AC:

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\-2&-4&1\\-7&-15&1\end{array}\right] =0\\\\\\\left[(-4).1-(-15).1\right]x-\left[(-2).1-(-7).1\right]y+(-2).(-15)-(-7).(-4)=0\\\left[(-4)-(-15)\right]x-\left[(-2)-(-7)\right]y++30-28=0\\11x -5y + 2=0$

Distância do ponto B(1, -1) a reta 11x-5y+2=0:

d = |axo+byo+c|/√a²+b²

Substituindo os valores:

h' = |11(1)-5(-1)+2|/√11²+(-5)²

h' = |11+5+2|/√121+25

h'=18/√146.[√146/√146]=18√146/146=9√146/73