Question

Os dois círculos da figura abaixo são concêntricos e $\overline{AB}$ é uma corda do círculo de maior raio. Esta corda é tangente ao círculo menor. Se o raio do círculo maior é $13cm$ e $\overline{AB} = 24$, qual deve ser a única medida possível para o raio do círculo menor?

Answer 1

Resposta:

5 cm

Explicação passo-a-passo:

✍️ Entendendo tangência e raio.

• Quando tangenciamos uma circunferência com uma reta qualquer, formaremos um ângulo de 90°.
• O raio cobre todo seu alcance com sua medida permanecendo a mesma, portanto, não importa onde há a tangência, sempre relacionamos com a mesma medida.

Observe que o ponto de tangência entre a corda e o círculo menor divide a corda em dois segmentos iguais, ou seja, dois segmentos de 12 cm.

Relacionando o raio do círculo menor ao ponto de tangência, e relacionando o raio do círculo maior ao ponto A, podemos representar um triângulo retângulo.

Com isso, podemos descobrir a medida do raio menor através do Teorema de Pitágoras, onde o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Representando isso numa equação, teremos:

$\boxed{\blue{ {13}^{2} = {12}^{2} + r} }$

Resolvendo os quadrados:

$\boxed{\blue{ {13}^{2} = {12}^{2} + r} } \red{\rightarrow}169 = 144 + r$

Invertendo a equação para facilitar o entendimento:

$144 + r = 169$

Resolvendo o cálculo:

$144 + {r}^{2} = 169 \\ \red{\hookrightarrow } \boxed{144} {}^{ \orange\longrightarrow } + {r}^{2} = 169 \\ \red{\hookrightarrow } {r}^{2} = 169 - 144 \\ \red{\hookrightarrow } {r}^{2} = \boxed{169 - 144} \\ \red{\hookrightarrow } {r}^{2} = 25 \\ \red{\hookrightarrow } {r}^{ \boxed{2} {}^{ \orange\longrightarrow } } = 25 \\ \red{\hookrightarrow } r = \sqrt{25} \\ \red{\hookrightarrow } \green{ \boxed{\boxed{ \Large r = 5 \: cm}}}$

Portanto, a única medida possível para o raio do círculo menor é de 5 cm.

ESPERO TER AJUDADO, QUALQUER DÚVIDA É SÓ FALAR!!!