Tenho um desafio que eu não soube resolver, vou tentar explicar de um jeito simples:
Sabe a esteira de academia? elas tem vários níveis de velocidade, digamos que seja do 1 ao 4, agora digamos que você queira fazer um exercício de 3 minutos na esteira, mas com algumas restrições, você pode pegar qualquer nível inicialmente mas só pode ficar nele por um minuto, no próximo tem que aumentar ou diminuir o nível da esteira (se estiver no 1 só pode ir pro dois, se estiver no 3 pode ir pro 4 ou descer pro 2).
A pergunta é, quantos programas diferentes podem ser criados de exercícios nessa esteira com essas restrições?
eu não consegui pensar numa fórmula ou algo assim, usando os exemplos acima o resultado é 10 (dá pra fazer na mão):
1 2 3
1 2 1
2 3 4
2 3 2
2 1 2
3 4 3
3 2 3
3 2 1
4 3 4
4 3 2
só um exemplo, mas queira algo mais matemático (uma fórmula ou lógica) ou algo mais "algorítimico"
Respostas
Sempre, em qualquer das 3 "etapas" de velocidades, que você escolher um número dos extremos (1 ou 4), haverá somente 1 prosseguimento para a próxima etapa, assim como sempre que você escolher um número do meio (neste caso, 2 ou 3) haverá 2 prosseguimentos para a seguinte etapa. Considerando isso, temos que:
Etapa um - Você tem 2 opções de extremo e 2 de meio.
Etapa dois:
- Os extremos da etapa um se tornaram meios nesta etapa, ou seja, a etapa dois terá pelo menos 2 meios.
- Os meios podem, cada um, se tornar um extremo ou se tornar outro meio. Desse modo, a etapa dois pode ter 2 meios ou 2 extremos.
Total da etapa dois: 4 meios e 2 extremos
Etapa três:
- Cada um dos 2 extremos da etapa dois só tem uma possibilidade (não importa qual pois esta é a última etapa).
- Cada um dos 4 meios tem duas possibilidades de prosseguimento.
Somando todas as opções da etapa três (os 2 extremos, de 1 possibilidade cada, e os 4 meios, de 2 possibilidades cada):
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Este método claramente não é muito efetivo, porém, acredito eu, é ligeiramente superior a escrever todos os casos. Se você desejar fazer a mesma atividade com mais do que 4 números, acho que você deveria implantar uma terceira categoria (além de extremo e meio), que seria o meio que só tem outros meios ao redor. Aumentaria um pouco a complexidade, mas se tornaria viável para qualquer quantidade superior a 4 de velocidades de esteira.
1 2 3 4 no início todos tem 1 de possibilidade (já que podemos iniciar com qualquer um), sendo assim temos: 1 1 1 1 (escreve menor em cima pra visualizar melhor)
Em seguida, os extremos viram meios, e os meios podem virar extremos ou meios, a questão é que cada "número" é interferido pelos que estão ao seu redor (o 2 é interferido diretamente pelo 3 e 1; o 1 recebe interferência direta do 2)
1 2 3 4 (1 2 2 1) o "1" do 2 da linha anterior, vira o "1" do 1 dessa linha, o mesmo vale pro 4 e 3. Assim pense na seguinte possibilidade
X X X X (1 2 2 1), independente dos números, é certo que o primeiro X vai ter "2" na próxima linha
X X X X (2 . . 2)
Agora para os do meio, como ele podem fazer "dois movimentos", ele acabam interferindo para a esquerda e para a direita, isso significa que cada meio depende do que está ao seu redor, seu número de possibilidades vai depender das possibilidades anteriores dos elementos ao redor
1 2 3 4 (1 2 2 1) perceba que o 1 e 3 da linha anterior tinha "1", como ele interferem o 2 na próxima etapa, o 2 acaba com "2" (1+1), o mesmo vale pro 3, com o 2 e 4 interferindo ele. Isso acontece pois o 4 vai poder mover uma vez para o 3, e o 2 pode mover uma vez para o 3 também, e como só temos "1" 2 e 4, temos que ele só vão parar ambos uma única vez no 3
Espero não estar ficando confuso hahaha
1 2 3 4 (1 2 2 1) sendo assim, sabemos com certeza que o 2 da próxima etapa vai ter "3", pois de novo o 3 pode mover uma vez para o 2, e o 1 pode mover uma vez para o 2, mas temos "dois 3" (quer dizer que nessa etapa há 2 possibilidades de pararmos no 3), sendo assim o 2 na próxima etapa pode "ser escolhido" em 3 possibilidades diferentes, em 3 sequências de esteira diferentes, faz sentido?
Aí é só continuar, vai ver que o resto é bem simples, a base é a mesma da sua lógica.
No final era tudo uma questão de perspectiva, eu percebi que havia um padrão dos "extremos" e "meios" de acordo com os mesmos anteriores, dá pra perceber se você escrever os números e as possibilidades em cima