Question

(UESP-ADAPTADA) Se o terno (x, y, z) é a solução do sistema, então 3x + 5y + 4z é igual a:
-4
-5
-6
-7
-8

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, obtemos que o resultado da expressão dada é: $\boxed{\bf 3x + 5y + 4z =-7}$

Temos o seguinte sistema:

$\:\begin{pmatrix}3&0&1 \\ 1&1&1 \\ 0&2& - 1\end{pmatrix}. \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 5 \\ - 2\\ - 3\end{pmatrix}$

Para facilitar o nosso entendimento, vamos utilizar o método de Cramer que é bastante extenso, então vamos organizar os passos que devemos seguir para determinar x, y e z.

• Roteiro:

$\begin{cases}{\bf1)} \: determinante \: D \\ {\bf2)} \: determinante \:D_{x} \\ {\bf3)} \: determinante \: D_{y} \\ {\bf4)} \: determinante \: D_{z}\end{cases}$

De forma genérica, vamos escrever o problema para facilitar o entendimento.

$\: \: \: \: \begin{pmatrix} \blue a& \blue b& \blue c \\ \blue d& \blue e& \blue f\\ \blue g& \blue h& \blue i\end{pmatrix}. \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \red u \\ \red r\\ \red s\end{pmatrix}$

Primeiro temos que calcular o determinante (D) da matriz associada a este sistema, que está escrita logo acima no início da questão. Então:

$D = \begin{pmatrix}3&0&1 \\ 1&1&1 \\ 0&2& - 1\end{pmatrix} \: \to \: \begin{cases}det( D) = 0 - 3 + 2 - (0 + 0 + 6) \\ det (D) = - 1 -6 \\ det( D) = - 7\end{cases}$

Agora para calcular os outros determinantes referentes a cada variável, vamos ter que permutar a matriz coluna após a igualdade dentro da matriz associada (3 x 3), como mostrado abaixo no esquema:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: D_{x} = \: \begin{pmatrix} \red u& \blue b& \blue c \\ \red r& \blue e& \blue f \\ \red s& \blue h& \blue i\end{pmatrix}$

Aplicando esta lógica, temos:

$D_{x} = \begin{pmatrix} - 5&0&1 \\ - 2&1&1 \\ - 3&2& - 1\end{pmatrix} \to \begin{cases}det(D_{x}) = 0 + 5 - 4 - (0 - 3 - 10) \\ det( D_{x}) = 1 + 13 \\ det( D_{x}) = 14\end{cases}$

Em seguida, vamos permutar mais uma vez a matriz coluna após a igualdade, só que desta vez para a coluna que representa (y).

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: D_{y} = \: \begin{pmatrix} \blue a& \red u& \blue c \\ \blue d& \red r& \blue f \\ \blue g& \red s& \blue i\end{pmatrix}$

Substituindo os dados na relação:

$D_{y} = \: \begin{pmatrix}3& - 5&1 \\ 1& - 2&1 \\ 0& - 3& - 1\end{pmatrix} \to \begin{cases}det( D_{y}) = 0 + 6 - 3 - ( 5 + 0 - 9) \\ det( D_{y}) = 3 + 4 \\ det( D_{y}) = 7\end{cases}$

Para finalizar, vamos permutar uma última vez agora sendo na coluna que representa (z).

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: D_{z} = \: \begin{pmatrix} \blue a& \blue b& \red u \\ \blue d& \blue e& \red r \\ \blue g& \blue h& \red s\end{pmatrix}$

Substituindo os dados na relação:

$D_{z} = \begin{pmatrix}3&0& - 5 \\ 1&1& - 2 \\ 0&2& - 3\end{pmatrix} \to \begin{cases} det( D_{z}) = 0 - 9 - 10 - (0 + 0 - 12)\\ det( D_{z}) = - 19 + 12 \\ det( D_{z}) = - 7\end{cases}$

Tendo encontrado esses valores, vamos substituí-los na fórmulas, que são:

$\: \: \: \: \:\:\:\:\: \boxed{x = \frac{D_{x}}{D}} \boxed{y = \frac{D_{y}}{D}} \boxed{z = \frac{D_{x}}{D}}$

Prosseguindo, temos:

$\begin{cases}x = \frac{14}{ - 7} \: \to \: x = - 2 \\ y = \frac{7}{ - 7} \: \to \: y = - 1 \\ z = \frac{ - 7}{ - 7} \: \to \: z = 1 \end{cases}$

Finalmente, com esses dados podemos encontrar a resposta buscada, que é dada pela substituição destes valores na relação dada.

$3x + 5y + 4z \: \to \: 3.( - 2) + 5. ( - 1) + 4.1 \\ \\ - 6 - 5 + 4 \: \to \: - 11 + 4 \: \: \to \: \boxed{ - 7}$

Espero ter ajudado

Para um melhor entendimento, acesse:

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