Question

Demonstre, usando o princípio da indução finita:
6 | n(n + 1)(n + 2), ∀ n ∈ N.

Answer 1

Demonstração:

Demonstrar a proposição usando o Princípio da Indução Finita (P.I.F.):

     $p(n)=6\,|\,n(n+1)(n+2)$

para todo $n\in\mathbb{N}.$

• Caso base:

Para $n=1,$ temos

     $p(1)=6\,|\,1(1+1)(1+2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6\,|\,1\cdot 2\cdot 3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6\,|\,6\qquad\mathrm{(i)}$

Logo, vale $p(1).$

• Hipótese de indução (H.I.):

Suponha que a proposição é válida para um $k\ge 1$ natural, isto é, vale

     $p(k)=6\,|\,k(k+1)(k+2)\qquad\mathrm{(ii)}$

• Passo indutivo:

Mostrar que vale $p(k+1).$

Tomemos o produto:

     $(k+1)(k+2)(k+3)\\\\ =(k+1)(k+2)\cdot k+(k+1)(k+2)\cdot 3\\\\ =k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)\\\\ \overset{\mathrm{H.I.}}{=}6q+3(k+1)(k+2)\\\\ =6q+3(k^2+3k+2)\\\\ =6q+3(k^2+3k)+3\cdot 2\\\\ =6q+3k(k+3)+6\\\\ =6(q+1)+3k(k+3)\qquad\mathrm{(iii)}$

Os números k e k + 3 têm paridades distintas, isto é, se um é par ou outro necessariamente deve ser ímpar. Portanto o produto k(k+3) é um número par. Sendo assim, a expressão (iii) fica

     $=6(q+1)+3\cdot 2q'\\\\ =6(q+1)+6q'\\\\ =6(q+q'+1)$

sendo $q,\,q'$ números inteiros.

Portanto,

     $(k+1)(k+2)(k+3)=6(q+q'+1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6\,|\,(k+1)(k+2)(k+3)$

Logo, vale $p(k+1).$

Pelo P.I.F., se

• $p(1)$ é válido

• $p(k)\quad\Longrightarrow\quad p(k+1),$    com $k\ge 1$

então a proposição $p(n)$ é válida para todo $n$ natural, $n\ge 1$

como queríamos demonstrar.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!