Question

Uma esfera possui raio igual a 30 centímetros. Qual a diferença entre sua área e a área de um fuso esférico dessa mesma esfera com ângulo igual a 90°?.

Answer 1

Um fuso esférico pode ser entendido como um pedaço da área de uma esfera e essa área é compreendida por um angulo, que no caso do exercício mede 90º. A diferença entre a área da esfera e a área do fuso esférico é 8100 cm².

Um exemplo muito utilizado para explicar um fuso esférico é a retirada de um gomo de uma mexirica. Neste caso, a mexirica representa a esfera em sua área toral, e a lacuna que fica na fruta representa o fuso esférico. Essa lacuna é feita sob um angulo, que no caso é 90º.

Para encontrar a diferença entre a área da esfera e a área do fuso esférico sob um angulo de 90º, precisamos encontrar a área da esfera, que é dada por   $A_{E} =4\cdot \pi\cdot r^{2}$ , e então subtrair pela área do fuso esférico, que é dada por $A_{FE} =\dfrac{\alpha\cdot\pi\cdot r^{2} }{90}$ .

Encontrando a área da esfera e área do fuso esférico, considerando π = 3

$A_{E} =4\cdot \pi\cdot r^{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A_{FE} =\dfrac{\alpha\cdot \pi\cdot r^{2} }{90} \\ \\ A_{E} =4\cdot 3\cdot (30)^{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A_{FE} =\dfrac{90\cdot3\cdot(30)^{2} }{90} \\ \\ A_{E} =12\cdot900~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A_{FE} =3\cdot (30)^{2} \\ \\ \boxed{A_{E} =10800~cm^{2} }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A_{FE} =3\cdot900\\ \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{A_{FE} =2700~cm^{2} }$

O enunciado pede a diferença entre a área da esfera e a área do fuso esférico, e portanto:

$A_{AE} -A_{FE} =10800-2700\\ \\ \boxed{A_{AE} -A_{FE} =8100~cm^{2} }$

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