Question

log2​x(x−6)=1 como resolver?​

Answer 1

Após a realização dos cálculos, concluímos que os valores de x que tornam verdadeira igualdade são 3-√11 e 3+√11

Definição de logaritmo

Chama-se logaritmo de um número real b positivo, na base a positiva e diferente de 1 o número x a qual se deve elevar a para obter b.

matematicamente

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf \log_ab=x\iff a^x=b\begin{cases}\sf b>0\\\sf a>0\\\sf a\ne1\end{cases}\end{array}}$

$\sf b\longrightarrow$ logaritmando

$\sf a\longrightarrow$ base

$\sf x\longrightarrow$ logaritmo

Ou seja a condição de existência de um logaritmo é satisfeita quando o logaritmando é positivo, a base é positiva e diferente de 1

Equações logarítmicas

São equações que envolvem logaritmos satisfeitas as condições de existência. Para resolver podemos transformar a mesma em uma equação exponencial.

Vamos a resolução do exercício

Aqui vamos primeiramente analisar a condição de existência do logaritmando:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf \log_2x(x-6)=1\\\sf x(x-6)>0\end{array}}$

interpretando cada parcela da inequação produto como uma função e fazendo o estudo do sinal temos

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=x\\\sf f(x)>0\implies x>0\\\sf f(x)<0\implies x<0\\\sf g(x)=x-6\\\sf x-6=0\\\sf x=0+6\\\sf x=6\\\sf g(x)>0\implies x>6\\\sf g(x)<0\implies x<6\end{array}}$

montando um quadro sinal e assinalando o intervalo positivo temos

$\sf C\bullet E:\{x\in\mathbb{R}/x < 0~ou~x > 6\}$

Voltando a equação logarítmica temos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf \log_2x(x-6)=1\\\sf x(x-6)=2^1\\\sf x^2-6x=2\\\sf x^2-6x-2=0\\\sf \Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-2)\\\sf\Delta=36+8\\\sf\Delta=44\\\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{44}}{2\cdot1}\\\\\sf x=\dfrac{6\pm2\sqrt{11}}{2}\\\\\sf x=3\pm\sqrt{11}\begin{cases}\sf x_1=3+\sqrt{11}\\\sf x_2=3-\sqrt{11}\end{cases}\end{array}}$

Como as raízes da equação satisfazem a equação de existência podemos concluir que

$\sf S=\{3-\sqrt{11},3+\sqrt{11}\}$

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