Question

Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?.

Answer 1

144 números são possíveis nestas condições.

Resolução através de análise combinatória

Primeiramente calcularemos o número total de combinações possíveis em que o 3 e o 4 estejam em posições adjacentes. Para isto, basta que consideremos o 3 e o 4 como um bloco único. Dentro deste bloco são possíveis combinações com duas ordens: 3 e 4 ou 4 e 3, ou seja, dentro do bloco são 2! combinações possíveis. Já quando pensamos em todas as posições possíveis temos 5! combinações, já que o bloco 3 e 4 será tratado como um único bloco. Então temos que:

C = 5! × 2!

C = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)  × (2 × 1)

C = 120  × 2

C = 240

Assim, temos um valor total de 240 combinações possíveis em que o 3 e o 4 são números adjacentes. Agora devemos desconsiderar aqueles em que o 1 e o 2 ocupem posições adjacentes. Para isto vamos calcular em quantos números isto ocorre. Para isto, faremos o mesmo processo acima, onde 3 e 4 foram tratados como um único bloco, aqui trataremos 1 e 2 também como um único bloco, levando em conta o número de 2! combinações para o bloco 1 e 2 e para o bloco 3 e 4. Assim, levando em conta todas as posições temos 4! possibilidades. Então ficará assim.

C = 4! × 2! × 2!

C = (4 × 3 × 2 × 1)  × (2 × 1) × (2 × 1)

C = 24 × 2 × 2

C = 96

Assim, descobrimos que 96 são os números onde 1 e 2 aparecem adjacentes, bem como os números 3 e 4. Agora basta subtrairmos este número do total de números possíveis para que possamos descobrir em quantos números 3 e 4 aparecem adjacentes, mas 1 e 2 não. Então:

240 - 96 = 144

Logo, descobrimos que são 144 números em que 3 e 4 estão adjacentes, mas 1 e 2 não.

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