A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, a e b, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, c, distante 200m do ponto a e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto a. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos ba e cb mediam, respectivamente, 30º e 105º, conforme ilustrado na figura a seguir. Com base nessas informações, qual a distância, em metros, do ponto a ao ponto b ?.
Respostas
A distância do ponto A ao ponto B é de 100√2 m.
Lei dos senos
Essa lei diz que razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.
A distância AB corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 30°. Temos a medida do cateto AC, que é oposto ao ângulo B. Assim, se descobrimos a medida desse ângulo, poderemos utilizar a lei do senos para encontrar a distância AB.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos:
B + 30° + 105° = 180°
B + 135° = 180°
B = 180° - 135°
B = 45°
Assim, pela lei dos senos, temos:
AB = AC
sen 30° sen 45°
AB = 200
1/2 √2/2
AB = 200
1 √2
AB = 200
√2
AB = 200·√2
√2 √2
AB = 200√2
2
AB = 100√2 m
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