Question

(Mackenzie) Se tg x − cotg x = 1, então o valor de tg 2x é

Answer 1

O valor da Tg(2x) é

$\Large\text{ \boxed{\boxed{-2}} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?
  

Trigonometria

Temos a seguinte expressão  trigonométrica  $\boxed{Tg(x)-Cotg(x)=1}$

Ache $Tg(2x)$

Antes de começarmos temos que saber algumas relações trigonométricas

• $\boxed{Tg(2x)= \dfrac{2\cdot Tg(x)}{1-Tg^2(x)}}$

• $\boxed{Cotg(x)= \dfrac{1}{Tg(x)}}$

Com isso em mente vamos  mexer na expressão $Tg(x)-Cotg(x)=1$ de modo que apareça a Tg(2x)

Vamos lá podemos começar transformando Cotg(x) em Tg(x)

$Tg(x)-Cotg(x)=1\\\\\\\boxed{Tg(x)-\dfrac{1}{Tg(x)} =1}$

Podemos tirar essa Tg(x) do denominador multiplicando toda a equação por Tg(x)

$Tg(x)-\dfrac{1}{Tg(x)} =1\\\\\\\left(Tg(x)\cdot Tg(x)\right)-\left(\dfrac{1}{Tg(x)}\cdot Tg(x)\right) =1\cdot Tg(x)\\\\\\\boxed{Tg^2(x)-1=Tg(x)}$

Chegamos na seguinte expressão $\boxed{Tg^2(x)-1=Tg(x)}$ perceba que essa expressão é quase idêntica ao denominador de Tg(2x)

$Tg(2x)= \dfrac{2\cdot Tg(x)}{1-Tg^2(x)}$

Se multiplicarmos  $\boxed{Tg^2(x)-1=Tg(x)}$ por -1 poderemos substituir nessa equação, então vamos lá

$\left(Tg^2(x)-1=Tg(x)\right) \cdot (-1)\\\\\\\boxed{-Tg^2(x)+1=-Tg(x)}$

Perceba que temos a mesma equação então podemos substituir 1-Tg²(x)

Por -Tg(x)

$Tg(2x)= \dfrac{2\cdot Tg(x)}{1-Tg^2(x)}\\\\\\\boxed{Tg(2x)= \dfrac{2\cdot Tg(x)}{-Tg(x)}}$

Agora podemos simplesmente simplificar o Tg(x) por Tg(x)

$Tg(2x)= \dfrac{2\cdot Tg(x)}{-Tg(x)}\\\\\\Tg(2x)= \dfrac{2}{-1}\\\\\\\boxed{Tg(2x)= -2}$

Assim concluirmos que a Tg(2x) é -2

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