A soma dos quadrados das raizes da equação x²+4x+ m = 40. A soma dos inversos das raizes é igual a:
Respostas
A soma dos inversos das raízes desta equação é igual a 1/3.
Sistema de equações e equações de segundo grau
O enunciado nos fornece uma equação de segundo grau e nos diz que a soma do quadrado de suas raízes é 40. Ou seja:
(x')² + (x")² = 40
O enunciado ainda nos pede para descobrir a soma dos inversos das raízes. Ou seja:
1/x' + 1/x"
Nós não sabemos o valor da soma das raízes, apenas a soma dos quadrados das raízes. Assim, necessitamos recorrer a fórmula da soma de uma equação de segundo grau, que é:
S = -b\a
Observe que o valor de b é 4. Logo:
S = -4/1
S = -4
Assim, descobrimos que o valor da soma é -4. Ou seja:
x' + x" = -4
Podemos isolar o x' para obter a seguinte equação:
x' = -4 - x"
Deste modo temos agora o seguinte sistema de equações:
- (x')² + (x")² = 40
- x' = -4 - x"
Note que podemos utilizar o valor de x' obtido na segunda equação substituindo o x' da primeira equação. Logo:
(-4 - x")² + (x")² = 40
(-4 - x") × (-4 - x") + (x")² = 40 (aqui deve ser feita multiplicação distributiva)
16 + 4x + 4x + x² + x² = 40
16 + 8x + 2x² = 40
2x² + 8x - 40 + 16 = 0
2x² + 8x - 24 = 0
Assim obtivemos uma outra equação de segundo grau. Vamos resolvê-la através da fórmula de Bhaskara:
Δ = b² -4ac
Δ = 8² - 4 × 2 × (-24)
Δ = 64 + 192
Δ = 256
x = (-b ± √Δ)/(2a)
x = (-8 ± √256)/(2 × 2)
x = (-8 ± 16)/4
x' = (-8 + 16)/4
x' = 8/4
x' = 2
x" = (-8 - 16)/4
x" = -24/4
x" = -6
Assim, obtivemos que as raízes são 2 e -6. Podemos utilizar a nossa primeira equação para checar se estes números estão corretos:
(x')² + (x")² = 40
2² + (-6)² = 40
4 + 36 = 40
40 = 40
Assim, podemos ver que a soma dos quadrados das raízes obtidas totaliza 40, como prevê o enunciado da questão. Agora precisamos calcular a soma dos inversos das raízes:
- O inverso de 2 é 1/2;
- O inverso de -6 é 1/-6, que o denominador negativo deve ser convertido para positivo, ficando -1/6.
Agora basta somarmos estes dois números. Observe:
S = 1/2 + -1/6 (para somar devemos fazer o MMC entre 6 e 2, que é 6)
S = (3 - 1)/6
S = 2/6 (esta fração pode ser simplificada por 2)
S = 1/3
Assim, descobrimos que a soma dos inversos das raízes da equação é 1/3.
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