Question

A solução da equação diferencial y'=y+ex é tal que y(2)=0. Assim, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de y(1)

Answer 1

Com o estudo sobre equações diferenciais, temos como resposta para y(1)=-e

Equações diferenciais

Equações diferenciais parciais são equações que consistem em uma função com múltiplas variáveis ​​desconhecidas e suas derivadas parciais. Em outras palavras, as equações diferenciais parciais ajudam a relacionar uma função contendo várias variáveis ​​com suas derivadas parciais. Essas equações se enquadram na categoria de equações diferenciais. Com isso vamos resolver a EDO.

1° Agrupando os termos

$y'=y+e^x\Rightarrow y'-y=e^x$

Temos uma equação linear de 1° ordem

$y'+a\left(x\right)y=b\left(x\right)\begin{cases}a\left(x\right)=-1&\\ b\left(x\right)=e^x&\end{cases}$

Iremos resolver a EDO pelo método de Bernoulli

2° Substituição

$y=uv\Rightarrow y'=uv'+u'v$

$uv'+u'v-uv=e^x$

Agrupando os termos

$u'v+u\left(v'-v\right)=e^x$

Resolvendo a 1ª equação

$v'-v=0\Rightarrow v'=v$

Transformação

$v'\left(x\right)=\dfrac{dv}{dx}\Rightarrow \:\dfrac{dv}{dx}=v$

Multiplicando pela diferencial dx

$dv=vdx$

Dividindo tudo por v

$\dfrac{dv}{v}=dx$

3° Integrando os dois lados da equação

$\int \dfrac{1}{v}dv=\int 1dx\Leftrightarrow ln\left(v\right)=x$

Observação:

$e^{f_1}=e^{f_2}$

$e^{ln\left(\alpha \right)}=\alpha$

Daí, temos

$v=e^x$

Vamos agora resolver a 2ª equação

$\begin{cases}u'v+u\left(v'-v\right)=e^x&\\ v=e^x&\\ \left(v'-v\right)=0&\end{cases}$

$u'e^x=e^x$

Dividindo tudo por $e^x$

$u'=1$

Transformando

$u'\left(x\right)=\dfrac{du}{dx}\Rightarrow \:\dfrac{du}{dx}=1$

Multiplicando por dx

$du=dx\Leftrightarrow \int du=\int dx$

Resolvendo as integrais, teremos

$u=x+C$

Desfazendo a substituição, teremos:

$\begin{cases}u=\dfrac{y}{v}&\\ v=e^x&\end{cases}$

Teremos

$y=xe^x+Ce^x$

Para y(2) = 0:

$0=2e^2+Ce^2\Rightarrow Ce^2=-2e^2\Rightarrow C=-2$

Para y(1):

$y\left(1\right)=1e^1-2e^1=e-2e=-e$

Saiba mais sobre equações diferenciais:https://brainly.com.br/tarefa/49351588

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