Question

Uma pessoa comprou abacaxis, mangas e laranjas de modo que o número de unidades compradas de cada tipo de fruta, nesta ordem, formava uma progressão geométrica de razão 2. Sabendo que a diferença entre o número de laranjas e o número de abacaxis foi 9, o número total de frutas compradas foi

Answer 1

Pode-se afirmar que o número total de frutas foi de 21.

Progressão geométrica

Segundo o enunciado, a pessoa comprou 3 frutas:

1. Abacaxis
2. Mangas
3. Laranjas.

As quantidades de frutas foram:

• Abacaxis - Número desconhecido, que chamaremos de a1;
• Mangas - O dobro do nº de abacaxis, portanto, a2;
• Laranjas - O dobro do nº de mangas. Chamaremos de a3.

Sabemos ainda que a diferença do número de laranjas e abacaxis é 9.

Vamos ordenar a compra de frutas partindo do menor valor para o maior:

(a1, a2, a3)

As relações matemáticas entre cada fruta será:

Abacaxi: a1

Manga: a2 = 2a1

Laranja: a3 = 2a2

A relação entre os elementos é chamado de progressão geométrica, que é uma sequência na qual os valores são multiplicados por um valor constante, chamado de razão.

No caso em tela, a razão desta progressão geométrica será 2.

Para encontrar o número total de frutas, temos que aplicar a fórmula da soma de uma progressão geométrica.

$S = \frac{a1(q^{n} - 1)}{q-1}$

Logo,

a1 é o 1º elemento da progressão geométrica (o número de abacaxis).

q é a razão da progressão geométrica, que é igual a 2.

n é a quantidade de elementos, igual a 3 (três frutas diferentes).

No entanto, antes da aplicação da fórmula, temos que descobrir o 1º elemento, ou seja, o número de abacaxis. Para isso, montaremos sistema de equações com as informações que possuímos.

• Cálculo de a1

Como já dissemos, o número de mangas é o dobro do número de abacaxis e o número de laranjas é o dobro do número de mangas. Assim:

a2 = 2(a1)

a3 = 2(a2)

Substituindo o valor de a2 na equação a3 = 2(a2) teremos:

a3 = 2(2a1)

a3 = 4(a1)

O número de laranjas é o quádruplo do número de abacaxis. Além disso, sabemos que a diferença entre o número de laranjas e abacaxis é 9, portanto:

a3 - a1 = 9

Logo, para encontrar o valor de a1 resolveremos o seguinte sistema:

a3 = 4a1

a3 - a1 = 9

Substituindo o valor de a3 na segunda equação:

a3 - a1 = 9

4a1 - a1 = 9

3a1 = 9

a1 = 9/3

a1 = 3 abacaxis

• Cálculo do número total de frutas

Após estes passos, podemos encontrar o número total de frutas utilizando a fórmula da soma de uma progressão geométrica.

$S = \frac{a1(q^{n} - 1)}{q-1}$

Substituindo os valores:

$S = \frac{3(2^{3} - 1)}{2-1}$

$S = \frac{3 (8-1)}{1}$

$S = 3(7)$

$S = 21$

O número total de frutas é de 21.

Saiba mais sobre progressão geométrica em brainly.com.br/tarefa/51266539

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