Question

Nível superior!

Prove que o elemento neutro da adição é único!

Explique detalhadamente.

Answer 1

Vamos supor que ele não é único. Chamemos os dois elementos neutros distintos da adição de $0$ e $0'$. Ou seja:

$0\neq 0'$

Como são neutros, podemos afirmar o seguinte:

$x+0 = x$

e

$x + 0' = x$

Desse modo, concluímos que:

$x+0 = x+0'\\x-x+0 = 0'\\0 = 0'$

Chegamos a uma evidente contradição: inicialmente foi dito que $0 \neq 0'$ e agora que $0 = 0'$, portanto a tese inteira está equivocada. Como a tese em questão afirma que o elemento neutro da adição não é único, e como esta tese tem somente uma outra alternativa (sendo esta outra alternativa "o elemento neutro da adição é único"), logo, se pode afirmar que seu contrário é verdadeiro, ou seja, o elemento neutro da adição é realmente único.