decomponha w = (−1, −3, 2) como soma de dois vetores w1 e w2, com w1 paralelo ao vetor (0,1,3) e w2 ortogonal a este ´ultimo
Respostas
O vetor w pode ser decomposto como a soma dos vetores (0, 3/10, 9/10) + (-1, -33/10, 11/10).
Produto escalar
A definição do produto escalar pode ser dada através da expressão abaixo onde u e v são vetores em R3:
Se w1 é paralelo ao vetor (0, 1, 3), podemos escrevê-lo como:
w1 = k·(0, 1, 3)
w1 = (0, k, 3k)
Se w1 e w2 são ortogonais, pelo produto escalar:
w1·w2 = (0, k, 3k)·(a, b, c) = 0
k·b + 3k·c = 0
k·b = -3k·c
b = -3c
Logo, podemos escrever w2 como:
w2 = (a, -3c, c)
w2 = a·(1, 0, 0) + c·(0, -3, 1)
O vetor w pode ser decomposto como a soma de w1 e w2:
(-1, -3, 2) = k·(0, 1, 3) + a·(1, 0, 0) + c·(0, -3, 1)
-1 = 0k + a + 0c ⇒ a = -1
-3 = k + 0a - 3c ⇒ k = 3c - 3
2 = 3k + 0a + c
2 = 3·(3c - 3) + c
2 = 10c - 9
c = 11/10
k = 3·(11/10) - 3
k = 3/10
Logo, podemos escrever o vetor w como:
w = (0, k, 3k) + (a, -3c, c)
w = (0, 3/10, 9/10) + (-1, -33/10, 11/10)
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