Question

Assunto: Cálculo 1

Use a mesma ideia usada para √2, para mostrar que √3 não é racional. (É possível mostrar para qualquer p primo que √p é irracional.

Answer 1

Para provar que raiz quadrada de 3 é irracional vamos usar o mesmo método para provar que raiz quadrada de 2 é irracional, esse método é conhecido como redução ao absurdo.

Este método consiste em provar que um resultado é verdadeiro mostrando que NÃO pode ser de outra forma. Consiste em supor que o resultado a ser provado é falso e chegar, a partir daí, a uma contradição.

Ou seja, assumimos como verdade algo que inicialmente pensamos ser mentira e, depois de realizar algumas operações matemáticas, chegamos a uma contradição lógica. Isso indica que nossa suposição inicial era uma mentira, o caso oposto se mostrou verdadeiro.

A primeira coisa que vamos supor é que a raiz quadrada de 3 não é um número irracional, então assumimos que a raiz quadrada de 3 é racional, se a raiz quadrada de 3 é racional, deve ser expressa como um inteiro dividido por outro inteiro, ou seja, uma fração.

$\qquad \sf\sqrt{3}=\dfrac{m}{n}$

Onde m,n são inteiros, mas são coprimos entre si, o que significa que m/n é uma fração irredutível. Se elevarmos ao quadrado ambas as partes da igualdade, devemos obter:

$\sf\left(\sqrt{3}\right)^2=\left(\dfrac{m}{n}\right)^2\\\\ \sf 3=\dfrac{m^2}{n^2}\\\\ \sf 3\cdot n^2=\dfrac{m^2}{\not\!\! n^2}\cdot\not\!\! n^2\\\\\qquad \qquad \sf 3 n^2=m^2\qquad \rm{(i)}$

Observe o que acontece ao elevar as duas partes da igualdade ao quadrado e se multiplicarmos n² pelo número 3, podemos ver que m² é igual a 3 por n² o que significa que m² é múltiplo de 3, então se m² é múltiplo de 3, m também é um múltiplo de 3.

Se m é um múltiplo de 3, m pode ser escrito como o produto de um inteiro "k" por 3, ou seja, m pode ser escrito como:

$\qquad \sf m=3 k,~com~k\in\mathbb{Z}\qquad \rm{(ii)}$

O que vamos fazer agora é substituir (ii) na expressão (i), fazendo isso devemos obter:

$\sf 3 n^2=\left(3 k\right)^2\\\\ \sf \not\!3n^2= \not\!9 k^2\\\\ \sf n^2=3 k^2$

Podemos ver que n² é igual a 3 por um inteiro k ao quadrado, o que significa que n² é um múltiplo de 3, mas lembremos que m² também é um múltiplo de 3, o que contradiz que m,n são primos entre si e também que m/n é uma fração irredutível então chegamos a algo absurdo.

Ao provar que a raiz quadrada de 3 e a raiz quadrada de 2 é irracional, podemos nos perguntar: é possível provar que a raiz quadrada de p é um número irracional? onde p pertence ao conjunto dos números primos.

Podemos ver que isso é possível já que 2 e 3 têm algo em comum, você sabe o que é? Se você não sabe, vou dizer assim tão fácil, 2 e 3 são números primos e podemos ver que a raiz quadrada de 3 e 2 é irracional, portanto a raiz quadrada de todo número primo é irracional.