Question

Resolva, em C, a equação x⁴- x³+x²+9x-10=0 sabendo que -2 e 1 são duas de suas raízes

Answer 1

Resposta:

Resolvamos, em $\mathbb{C}$, a equação abaixo:

$x^4 - x^3 + x^2 + 9x - 10 = 0.$

Sabemos que $-2$ e $1$ são duas soluções da equação acima. Logo, o polinômio $x^4 - x^3 + x^2 + 9x - 10$ deve ser divisível por $(x + 2)(x-1) = x^2 + x -2.$

Com efeito, ao efetuarmos a divisão polinomial, obtemos:

$x^4 - x^3 + x^2 + 9x - 10 = (x^2+x-2)(x^2 -2x + 5).$

Assim:

$x^4 - x^3 + x^2 + 9x - 10 = 0\\\\\Longleftrightarrow (x^2 + x - 2)(x^2 -2x + 5) = 0.$

Temos, portanto, duas possibilidades:

$x^2 + x - 2 = 0\\\\\Longleftrightarrow (x + 2)(x - 1) = 0\\\\\Longleftrightarrow \boxed{x = -2}\,\,ou\,\,\boxed{x = 1}$

ou

$x^2 - 2x + 5 = 0$

Calculemos o discriminante:

$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5)\\\\\Longleftrightarrow \Delta = 4 - 20\\\\\Longleftrightarrow \Delta = -16$

Assim:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{\Delta} }{2\cdot1}\\\\\Longleftrightarrow x = \frac{2 \pm \sqrt{-16} }{2}\\\\\Longleftrightarrow x = \frac{2\pm 4i}{2}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{x = 1 \pm 2i.}$

Portanto, o conjunto solução da equação dada, em $\mathbb{C}$, é:

$S = \left\{-2, 1, 1 - 2i, 1 + 2i \right\}.$