Question

Outra aplicação das derivadas é calcular máximos e mínimos de funções. A partir daí, podemos encontrar os valores extremos de algumas variáveis, tais como área, volume, força, potência, tempo, lucro ou custo. Na prática, estes problemas são bastante abrangentes, que vão desde problemas geométricos até problemas que dizem respeito à física, engenharia, biologia, negócios e economia. Qual o mínimo valor assumido pela função ƒ(x) = 8x2-4x-2?

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o mínimo valor assumido para a referida função polinomial do segundo grau - função quadrática - é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m_{f(x)} = -\frac{5}{2}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial do segundo grau:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 8x^{2} - 4x - 2\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                      $\Large\begin{cases} a = 8\\b = -4\\c = -2\end{cases}$

Observe que o gráfico desta função é uma parábola. Além disso, sabemos que:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} a > 0\end{gathered}$

Então, a concavidade da parábola está voltada para cima. Desta forma, o referido gráfico terá apenas um ponto de mínimo local. Além do mais, utilizando os conceitos de derivadas,  sabemos que o mínimo desta função ocorre quando a derivada primeira da referida função for igual a "0". Então, devemos:

• Calcular a derivada primeira da função.

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = 2\cdot8\cdot x^{2 - 1} - 1\cdot4\cdot x^{1 - 1} - 0\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 16x - 4\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:f'(x) = 16x - 4\end{gathered}$

• Igualar a derivada primeira a "0" para encontrar o valor de "x" para o qual teremos o valor mínimo.

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = 0\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16x - 4 = 0\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16x = 4\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \frac{4}{16}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \frac{1}{4}\end{gathered}$

• Calcular o valor da função para x = 1/4:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f\bigg(\frac{1}{4}\bigg) = 8\cdot\bigg(\frac{1}{4}\bigg)^{2} - 4\cdot\frac{1}{4} - 2\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 8\cdot\frac{1}{16} - \frac{4}{4} - 2\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{8}{16} - 1 - 2\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{8 - 16 - 32}{16}\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\frac{40}{16}\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\frac{5}{2}\end{gathered}$                            

✅ Portanto, o mínimo valor assumido para a função:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{f(x)} = -\frac{5}{2}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$