Question

Num triângulo ABC, os lados AB e AC medem respectivamente b e 2b sendo de 45° o ângulo formado por eles. Com base nessas informações faça o que se pede nos itens a seguir:
a) Desenhe o triângulo com todas as especificações descritas no enunciado.
b) Calcule a medida da altura BD e o lado BC do triângulo em função de b.
c) Assuma que b tem a medida de 4 cm, determine a área do triângulo ABC.
d) Na resolução desta atividade que conceitos matemáticos podem ser explorados com alunos de ensino fundamental e do ensino médio?

Answer 1

D) Na resolução desta atividade serão utilizados os seguintes conceitos matemáticos:

• C1: A soma da medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°.
• C2: Num triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
• C3: Teorema de Pitágoras: Em qualquer triângulo retângulo a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
• C4: Racionalização do denominador: Para racionalizar um denominador irracional, multiplique numerador e denominador pelo denominador irracional.
• C5: Lei dos cossenos: Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados da medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados e o cosseno do ângulo entre eles.
• C6: Área do triângulo: A área (A) do triângulo é o produto entre a metade da medida base (b) e altura (h).

$\large \sf A = \dfrac{b \cdot h}{2}$

A) Observe na figura anexa o triângulo com as especificações descritas no enunciado.

B) Calcule a medida da altura BD (h) e do lado BC do triângulo em função de b.

• No triângulo ABD, a altura é perpendicular ao lado AD, portanto o ângulo no vértice D mede 90°, se o ângulo A mede 45°, então conforme conceito C1 o ângulo no vértice B mede:

m(∠ABD) = 180 − 45 − 90 = 45°

• Observe que o triângulo ABD possui dois ângulos de 45° e portanto é isósceles com base medindo b e lados congruentes medindo h. Determine h aplicando conceito C3.

h² + h² = b² ⟹ Reduza os termos semelhantes.

2h² = b² ⟹ extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

√ ̅2̅ ⋅ h = b ⟹ Divida ambos os membros por √ ̅2̅ .

$\large \sf h = \dfrac{b}{\sqrt 2}$  ⟹ Racionalize o denominador.

$\large \sf h = b\cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}$

A altura BD mede b√ ̅2̅ /2.

• Determine a medida o lado BC usando o conceito C5.

BC = b² + (2b)² − 2⋅b⋅2b·cos 45°

BC = b² + 4b² − 4b² · cos 45° ⟹ Reduza os termos semelhantes.

BC = 5b² − 4b² · cos 45° ⟹ Fatore (fator comum: b²).

BC = b² (5 − 4 · cos 45°) ⟹ Substitua o valor de cos 45°.

$\large \sf BC = b^2 \left (5-4 \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2} \right)$

BC = b² ⋅ (5 − 2√ ̅2̅  )

C) Sendo b = 4 cm, determine a área do triângulo ABC.

• A área (A) do triângulo ABC é o produto entre a metade da base (AC) e altura. Se a base mede 2b então a metade da base mede b.

A = b⋅h ⟹ Substitua o valor de h.

$\large \sf A = b \cdot b\cdot \dfrac{\sqrt 2}{2} = b^2 \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}$  ⟹ Substitua o valor de b.

$\large \sf A = 4^2 \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}$

A = 8⋅√ ̅2̅  cm²

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