Matéria: Física
Autor: sunniesunnn
Perguntado 3 anos atrás

Na figura, a esfera de massa 50kg é abandonada de uma altura h igual a 8m, num local em que g = 10m/s². A esfera termina seu movimento comprimindo a mola de constante elástica 500N/m. A velocidade v da esfera e a deformação x causada pelo contato da esfera com a mola valem, respectivamente:

A) 24m/s e 3cm

B) 12,65m/s e 4m

C) 12,65m/s e 2,4m

D) 40m/s e 2,4m

Anexos:

Respostas

respondido por: Nitoryu

Para este problema, lembremo-nos de um princípio muito importante em física e termodinâmica.

O Princípio da Conservação da Energia afirma que a energia não é criada nem destruída; ele só se transforma de uma forma para outra. Nessas transformações, a energia total permanece constante; ou seja, a energia total é a mesma antes e depois de cada transformação.

No caso da energia mecânica, pode-se concluir que, na ausência de atrito e sem a intervenção de nenhum trabalho externo, a soma das energias cinética e potencial permanece constante. Este fenômeno é conhecido como o princípio da conservação da energia mecânica.

Observe que inicialmente a esfera foi abandonada a uma altura h, nesta altura ela experimenta uma energia potencial pois a energia potencial depende da posição onde a esfera está localizada, mas quando essa esfera desce de sua altura, a energia potencial da esfera está diminuindo e pouco a pouco está se tornando energia cinética, quando a altura h = 0 m toda a energia potencial que tinha desde o início foi convertida em energia cinética, pois ao descer dessa altura h estava adquirindo velocidade v cada vez maior.

Em um certo ponto a esfera colidirá com a mola o que faz com que a velocidade da esfera que ela adquiriu anteriormente diminua, portanto sua energia cinética também diminui, quanto mais a velocidade diminui a deformação da mola será muito maior, mas quando a velocidade da esfera for igual a v = 0 m/s, toda a energia cinética adquirida pela esfera será convertida em energia elástica.

Pelo princípio da conservação da energia podemos concluir o seguinte:

$\large\boxed{\begin{array}{ccc}\star&&\star\\ &\rm{E_{p}=E_{c}=E_{pe}}&\\ \star&&\star\end{array}}$

Levando em conta essa igualdade entre energia potencial, energia cinética e energia potencial elástica, é possível determinar a velocidade que a esfera adquiriu e a deformação causada quando a esfera colidiu com a mola. Primeiro anotamos todos os nossos dados:

$\begin{cases}\sf m=50~kg\\\sf h=8~m\\ \sf g=10~m/s^2\\ \sf k=500~N/m\\\sf v=?~m/s\\ \sf x=?~m\end{cases}$

A primeira coisa que devemos determinar é a velocidade que a esfera adquiriu ao descer de uma altura igual a 8 metros, mas para determinar essa velocidade podemos equacionar a energia potencial da esfera e sua energia cinética ou também a energia potencial elástica da mola e a energia cinética da esfera. Se igualarmos a energia potencial da esfera e a energia cinética da mesma podemos ver que a velocidade desta mesma esfera pode ser calculada pela equação:

$E_{p}=E_{c}\\\\ mgh=\dfrac{mv^2}{2}\\\\ 2 mgh=\not\!\red{2}\cdot\dfrac{mv^2}{\not\!\red{2}}\\\\ 2\blue{\not\!m}gh\cdot\dfrac{1}{\blue{\not\!m}}=\blue{\not\!m}v^2\cdot\dfrac{1}{\blue{\not\!m}} \\\\ \sqrt{2gh}=\sqrt{v^2}\\\\ \sqrt{2gh}=v$

Substituindo os dados correspondentes nesta equação e podemos ver que a velocidade da esfera é igual a:

$\sqrt{2\cdot 10\cdot 8}= v\\\\ \sqrt{160}=v\\\\\underline{ \boxed{\therefore~v\cong 12,65~m/s}}$

Como já calculamos a velocidade da esfera, o próximo passo é calcular a deformação da mola, para calcular a deformação da esfera temos 2 caminhos diferentes, um é igualar a energia cinética com a energia potencial elástica e a outra é igualar a energia potencial com a energia elástica, cinética, mas qualquer caminho leva à mesma resposta. Se igualarmos a energia potencial e a energia potencial elástica podemos ver que a deformação da mola é calculada pela equação:

$E_p=E_{pe}\\\\ mgh=\dfrac{kx^2}{2}\\\\\ 2mgh=\not\!\red{2}\cdot\dfrac{kx^2}{\not\!\red{2}}\\\\ \dfrac{2mgh}{k}=\dfrac{\not\!\blue{k}x^2}{\not\!\blue{k}}\\\\ \sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}=\sqrt{x^2}\\\\ \sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}=x$