Matéria: Lógica
Autor: raisacarneiro8069
Perguntado 3 anos atrás

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Na minha casa, há um relógio na cozinha e outro no quarto, ambos com defeito. O relógio da cozinha atrasa dois minutos por hora, enquanto o relógio do quarto adianta um minuto por hora. Cansado de me atrapalhar com os horários, ontem decidi acertar os dois relógios ao mesmo tempo, com o horário correto. Entretanto, hoje olhei para os relógios e vi que um deles marcava 09h 00min e o outro 10h 00min.

A que horas eu acertei os dois relógios ontem?

A.17h 40min

B.12h

C.09h 20min

D.21h

E.13h 40min

Observe a seguinte sequência lógica:

085, 115, 092, 123, 099, 131, 106, 139, 113, ...

Identificando o padrão de formação dessa sequência, podemos afirmar que o número de elementos dessa sequência maiores que 1000 e menores que 1500 é:

A.135

B.201

C.112

D.50

E.89

Respostas

respondido por: alissonsiv

Após realizar as devidas análises, podemos concluir que:

a) O horário na qual os relógios foram acertados é 13:40, conforme a alternativa E.

b) O número de elementos dessa sequência maiores que 1000 e menores que 1500 é igual a 135, conforme a alternativa A.

Questão dos relógios

Primeiramente, vamos entender como o horário em cada relógio progride (ou retrocede).

No relógio atrasado, o horário atual é igual a 09:00. Uma hora antes este relógio marcava 08:02.

Perceba que isso forma uma relação: quando as horas diminuem em 1 unidade, os minutos aumentam em 2 unidades (08:02, 07:04, 06:06, 05:08...).

No relógio adiantado, o horário atual é igual a 10:00 e uma hora antes ele marcava 08:59.

Aqui também há uma ordem: quando as horas diminuem em 1 unidade, os minutos também diminuem em 1 unidade (08:59, 07:58, 06:57, 05:56...).

Chamando as horas retrocedidas de "x" e o minuto na qual eles foram ajustados de "y", podemos estabelecer relações em ambos os relógios.

No primeiro relógio:

A partir das 08:02, a cada hora que retrocedemos, os minutos aumentam em 2 unidades. Logo:

$2 + 2x = y$

No segundo relógio:

A partir das 08:59, a cada hora que retrocedemos, os minutos diminuem em 1 unidade. Logo:

$59 - x = y$

Perceba que formamos um sistema de equações. Podemos resolvê-lo utilizando o método da comparação.

$\left \{ {{2 + 2x = y} \atop {59 - x = y}} \right. \\\\2 + 2x = 59 - x\\\\x = \dfrac{57}{3}\\\\x = 19$

Lembre-se que "x" representa as horas retrocedidas, na qual determinamos que é igual a 19.

Portanto devemos retroceder 19 horas a partir das 08 horas para encontrarmos a hora na qual os relógios foram ajustados.

$8h - 19 = -11h$

O dia tem 24 horas, logo:

$24h - 11h = 13h$

Encontramos que a hora na qual o relógio foi ajustado é igual a 13h. Relembre que, nas relações formadas anteriormente, "y" representa os minutos na qual os relógios foram ajustados.

Substituindo x por 19 em uma das equações, teremos que:

$2 + 2x = y\\2 + 2 . 19 = y\\2 + 38 = y\\y = 40$

Ou seja: os relógios foram ajustados as 13:40, conforme a alternativa E.

Questão da sequência lógica

A diferença entre dois termos cuja posição é impar (1ª, 3ª, 5ª) é constante e igual a 7.

$92 - 85 = 7\\99 - 92 = 7\\106 - 99 = 7$

Da mesma forma, os termos de posição par (2º, 4º, 6º...) possuem razão constante e igual a 8.

$123 - 115 = 8\\131 - 123 = 8\\139 - 131 = 8$

Com isso, podemos decompor a sequência principal em duas outras sequências:

$A: (85, 92, 99, 106, 113...)\\B: (115, 123, 131, 139...)$

Ambas as sequências são progressões aritméticas de razões 7 e 8.

É possível formar a lei de formação das sequências em função da posição n.

Na sequência A, temos:

85 + 7n = x

Vamos obter quantos números maiores que 1000 e menores que 1500 há na sequência A.

Aplicando o 1000 na fórmula,

$85 + 7n = x\\85 + 7n = 1000\\7n = 915\\\\n = \dfrac{915}{7}\\\\n = 130~com~resto~5$

Como o resto é igual a 5, temos que o número 1000 - 5 = 995 está na sequência.

Determinando sua posição:

$85 + 7n = x\\85 + 7n = 995\\7n = 917\\n = 130$

Devemos encontrar o último termo da sequência A que é maior que 1000 e menor que 1500.

Utilizaremos a mesma lógica, porém desta vez será utilizado o número 1500.

$85 + 7n = x\\85 + 7n = 1500\\7n = 1415\\\\n = \dfrac{1415}{7}\\\\n = 202~com~resto~1$

O número 1500 - 1 = 1499 está na sequência.

Determinando em qual posição ele está:

$85 + 7n = x\\85 + 7n = 1499}$}\\7n = 1414\\n = 202$

O número de termos maiores que 1000 e menores que 1500 na sequência A será a diferença entre as posições do último e do primeiro termo:

$202 - 130 = 72$

Há 72 elementos maiores que 1000 e menores que 1500 na sequência A.

Na sequência B, temos:

115 + 8n = x

Utilizaremos a mesma lógica para determinar as posições do primeiro e último termo.

Determinando o primeiro termo:

$115 + 8n = x\\115 + 8n = 1000\\8n = 885\\n = 110~com~resto~5$

O número 1000 - 5 = 995 está na sequência.

Determinando sua posição:

$115 + 8n = x\\115 + 8n = 995\\8n = 880\\n = 110$

Determinando o último termo:

$115 + 8n = x\\115 + 8n = 1500\\8n = 1385\\n = 173~com~resto~1$

O número 1500 - 1 = 1499 está na sequência.

Determinando sua posição:

$115 + 8n = x\\8n = 1384\\n = 173$

O número de termos maiores que 1000 e menores que 1500 na sequência B será dado por:

$173 - 110 = 63$

Há 63 números maiores que 1000 em menores que 1500 na sequência B.

Finalmente, o número total de elementos maiores que 1000 e menores que 1500 na sequência dada pelo exercício será a soma dos números que se enquadram em tal condição nas sequências A e B:

$72 + 63 =135$