Question

Calcule a area delimitada pela curva y = x³ , pela reta y = 8 e pelo eixo y.

Answer 1

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir que área entre as curvas y=x³,y=8 e  y=0 (eixo x) é 12 unidades de área✅

Aplicação da integral definida

O teorema fundamental do cálculo nos garante que a integral definida entre os limites de integração x=a e x=b  representa a área sob a curva.

• matematicamente:

     $\displaystyle\sf\int_a^b f(x)\,dx=\bigg[g(x)\bigg]_a^b=g(b)-g(a)$

• quando um dos limites de integração for  zero podemos ignorá-lo para facilitar os cálculos.

✍️Vamos a resolução da questão

Observe a figura anexa. Perceba que a região R de nosso Interesse varia de 0 a 2. A função superior é g(x)=8 e a função inferior é f(x)=x³.

Calculando a integral neste intervalo teremos a área desejada.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A(R)=\int_0^2(8-x^3)dx\\\sf A(R)=\bigg[8x-\dfrac{x^4}{4}\bigg]_0^2\\\\\sf A(R)=8\cdot2-\dfrac{2^4}{4}\\\\\sf A(R)=16-\dfrac{16}{4}\\\\\sf A(R)=16-4\\\sf A(R)=12~u\cdot a\end{array}}$

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