Matéria: Matemática
Autor: lanamaria40
Perguntado 3 anos atrás

Prova a lei de De Morgan usando a tabela verdade: Lei: ¬ ( p ∧ q) ⟷ ¬ p ∨ ¬ q?

Respostas

respondido por: Nitoryu

Queremos verificar a validade da seguinte lei de Morgan usando o método da tabela verdade:

$\neg \left(p\wedge q\right)\iff\neg p\lor \neg q$

As tabelas-verdade é uma estratégia lógica simples que permite estabelecer a validade de várias propostas em relação a qualquer situação, ou seja, determina as condições necessárias para que uma afirmação proposta seja verdadeira, permitindo classificá-las como tautológicas (são verdadeiras em qualquer situação), contraditórios (são afirmações falsas na maioria dos casos) ou contingentes (afirmações que não podem ser tantas verdadeiras quanto falsas, não há tendência a um único significado).

A demonstração dessa lei de Morgan usando tabelas de verdade deve vir de uma tautologia, ou seja, que tudo é verdade (V), se nos apresentarmos em uma tautologia podemos dizer que essa lei é verdadeira. Para criar a tabela verdade de uma proposição mais complexa, devemos dividir a proposição em proposições cada vez mais simples. Primeiro fazemos uma tabela-verdade para a conjunção $p\wedge q$ , para isso devemos saber que uma conjunção lógica entre duas proposições é um conector lógico cujo valor de verdade é verdadeiro somente se ambas as proposições forem verdadeiras, e falso de qualquer outra forma.

$\boxed{\begin{array}{c|c|c} \quad p\quad &\quad q\quad &\quad p\wedge q\quad \\\\ \quad V\quad &\quad V\quad&\quad V\quad \\ \quad V\quad&\quad F\quad &\quad F\quad\\ \quad F\quad &\quad V\quad&\quad F\quad \\ \quad F\quad&\quad F\quad &\quad F\quad\end{array}}$

Fazemos a tabela para negação ( $\neg$ ), a negação de uma proposição é verdadeira quando essa proposição é falsa, e vice-versa.

$\begin{matrix}\boxed{\begin{array}{c|c} \quad p\quad &\quad \neg p\quad \\\\ \quad V\quad &\quad F\quad\\ \quad V\quad&\quad F\quad \\ \quad F\quad &\quad V\quad \\ \quad F\quad&\quad V\quad \end{array}}&&\boxed{\begin{array}{c|c} \quad q\quad &\quad \neg q\quad \\\\ \quad V\quad &\quad F\quad\\ \quad F\quad&\quad V\quad \\ \quad V\quad &\quad F\quad \\ \quad F\quad&\quad V\quad \end{array}}\\\\& \boxed{\begin{array}{c|c} \quad p\wedge q\quad &\quad \neg (p\wedge q)\quad \\\\ \quad V\quad &\quad F\quad\\ \quad F\quad&\quad V\quad \\ \quad F\quad &\quad V\quad \\ \quad F\quad&\quad V\quad \end{array}}&\end{matrix}$

A partir da tabela verdade da negação de p e q podemos fazer a tabela verdade de $\neg p\lor\neg q$ , lembrando que o símbolo " $\lor$ " significa disjunção lógica, então, lembremos que uma disjunção lógica entre duas proposições é um conector lógico, cujo valor de verdade resulta em falso apenas se ambas as proposições forem falsas e verdadeiras caso contrário.

$\boxed{\begin{array}{c|c|c} \quad\neg p\quad &\quad \neg q\quad &\quad \neg p\lor \neg q\quad\\\\ \quad F\quad &\quad F\quad&\quad F\quad \\ \quad F\quad&\quad V\quad &\quad V\quad\\ \quad V\quad &\quad F\quad&\quad V\quad \\ \quad V\quad&\quad V\quad &\quad V\quad\end{array}}$

Como fizemos as tabelas verdade das proporções $\neg(p\wedge q)$ e $\neg p\lor\neg q$ podemos fazer a tabela da proporção $\neg \left(p\wedge q\right)\iff\neg p\lor \neg q$ , sendo esta a última tabela verdade. O símbolo " $\iff$ " é conhecido como bicondicional por definição o bicondicional também funciona como um conectivo lógico, permitindo formular expressões da forma "P se e somente se Q" o que é verdadeiro em caso em que ambos os componentes tenham o mesmo valor de verdade. Percebendo sua tabela de verdade temos que:

$\boxed{\begin{array}{c|c|c} \quad \neg(p\wedge q)\quad &\quad \neg p\lor\neg q\quad &\quad \neg \left(p\wedge q\right)\iff\neg p\lor \neg q\quad\\\\ \quad F\quad &\quad F\quad&\quad V\quad \\ \quad V\quad&\quad V\quad &\quad V\quad\\ \quad V\quad &\quad V\quad&\quad V\quad \\ \quad V\quad&\quad V\quad &\quad V\quad\end{array}}$