Lista de exercícios V sobre limite de funções
David Zavaleta Villanueva UFRN

Calcule o seguinte limite

3)

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt[m]{x}-1 }{\sqrt[n]{x}-1 } \right)$}$

Respostas

respondido por: Sban1

Usando produtos notáveis podemos concluir que quando X tende a 1 a função tenderá para

$\large\text{$\boxed{\boxed{\dfrac{n}{m} }}$}$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt[m]{x} -1}{\sqrt[n]{x}-1 } \right)$}$

Perceba que quando X tende a 1 a função acabará em uma indeterminação

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt[m]{x} -1}{\sqrt[n]{x}-1 } \right)\Rightarrow \left(\dfrac{\sqrt[m]{1} -1}{\sqrt[n]{1}-1 } \right)\Rightarrow \dfrac{1-1}{1-1} \Rightarrow\dfrac{0}{0} $}$

Perceba que o que causa a indeterminação é a expressão $(x-1)$ , Então temos que usar alguma propriedade matematica para fazer essa indeterminação sumir

Para resolver essa questão precisamos lembrar de algumas produtos notáveis

$(\sqrt{x} -1)=(\sqrt{x} -1)\\\\(\sqrt[2]{x} ^2-1)=(\sqrt[2]{x} -1)( \sqrt[2]{x} +1)\\\\(\sqrt[3]{x} ^3-1)=(\sqrt[3]{x}-1 ) \cdot(\sqrt[3]{x}^2 +\sqrt[3]{x}+1) \\\\$

Logo por indução podemos concluir que

$\boxed{(\sqrt[A]{x}^A -1^A)=(\sqrt[A]{x}-1 ) \cdot(\sqrt[A]{x^{A-1}} +\sqrt[A]{X^{A-2}} +.~.~.~\sqrt[A]{x^3}+\sqrt[A]{x^2}+ \sqrt{x} + 1)}$

Ou seja podemos usar isso para eliminar a indeterminação mas lembre-se que temos que multiplicar em cima e embaixo da fração para não alterar a função incial

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{\sqrt[m]{x} -1}{\sqrt[n]{x}-1 } \right)\Rightarrow \lim_{x\to1}\left(\frac{\sqrt[m]{x} -1}{\sqrt[n]{x}-1 } \right)\cdot \frac{\sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{x^2}+\sqrt[m]{x}+1 }{\sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{x^2}+\sqrt[m]{x}+1} \Rightarrow $}$

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{\sqrt[m]{x^m} -1^m}{(\sqrt[n]{x}-1)\cdot \sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{x^2}+\sqrt[m]{x}+1 } \right)\Rightarrow $}$

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{x -1}{(\sqrt[n]{x}-1)\cdot \sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{x^2}+\sqrt[m]{x}+1 } \right)\Rightarrow $}$

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{x -1}{(\sqrt[n]{x}-1)\cdot \sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{x^2}+\sqrt[m]{x}+1 } \right)\cdot \frac{\sqrt[n]{x^{n-1}}~.~.+\sqrt[n]{x^2} +\sqrt[n]{x} +1}{\sqrt[n]{x^{n-1}}~.~.+\sqrt[n]{x^2} +\sqrt[n]{x} +1} $}$

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{(x -1)\cdot (\sqrt[n]{x^{n-1}}~.~.+\sqrt[n]{x^2} +\sqrt[n]{x} +1)}{(\sqrt[n]{x^n}-1^n)\cdot \sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{x^2}+\sqrt[m]{x}+1 } \right) \Rightarrow $}$

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{(x -1)\cdot (\sqrt[n]{x^{n-1}}~.~.+\sqrt[n]{x^2} +\sqrt[n]{x} +1)}{(x-1)\cdot \sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{x^2}+\sqrt[m]{x}+1 } \right) \Rightarrow $}$

Perceba que temo $(x-1)$ em cima e embaixo então podemos simplifica-los entre si

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{(\sqrt[n]{x^{n-1}}~.~.+\sqrt[n]{x^2} +\sqrt[n]{x} +1)}{ \sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{x^2}+\sqrt[m]{x}+1 } \right) \Rightarrow $}$

Agora podemos substituir X por 1 tranquilamente porque não haverá indeterminação

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{(\sqrt[n]{x^{n-1}}~.~.+\sqrt[n]{x^2} +\sqrt[n]{x} +1)}{ \sqrt[m]{x^{m-1}}+\sqrt[m]{x^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{x^2}+\sqrt[m]{x}+1 } \right) \Rightarrow $}$

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{(\sqrt[n]{1^{n-1}}~.~.+\sqrt[n]{1^2} +\sqrt[n]{1} +1)}{ \sqrt[m]{1^{m-1}}+\sqrt[m]{1^{m-2}}.~.~.\sqrt[m]{1^2}+\sqrt[m]{1}+1 } \right) \Rightarrow $}$

$\dfrac{1+1+1+1.~.~.~+1+1}{1+1+1+1.~.~.~+1+1}$

Agora veja que não podemos dizer com precisão pois não sabemos o valor de 1 que tem no numerador e no denominador, não podemos dizer que são o mesmo valor. Então, vamos dizer que o numerador é o valor de N é o denominador o de M

$\dfrac{1+1+1+1.~.~.~+1+1}{1+1+1+1.~.~.~+1+1}\Rightarrow \dfrac{N}{M}$