Lista de exercícios V sobre limite de funções

David Zavaleta Villanueva UFRN

Calcule o seguinte limite

6)

$\large\text{$\lim _{x\to 8}\left(\dfrac{\sqrt{9+2x}-5}{\:\sqrt[3]{x}-2}\right)$}$

Respostas

respondido por: Sban1

Usando produtos notáveis e fatoração podemos concluir que quando X tende a 8 a função tenderá para

$\large\text{$\boxed{\boxed{\frac{12}{5} }}$}$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{$\lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\right)$}$

Perceba que se substituirmos X por 8 a função tenderá para um indeterminação

$\large\text{$\lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2\cdot 8}-5}{\sqrt[3]{8}-2}\right)\Rightarrow\frac{\sqrt{25}-5 }{8-8} \Rightarrow \dfrac{0}{0}? $}$

Então vamos usar propriedades matemáticas para fazer esse limite não tender a uma indeterminação

Usaremos produtos notáveis, da diferença de dois quadrados e a diferença de dois cubos

$\boxed{(A^2-B^2)=(A+B)\cdot (A-B)}$

$\boxed{(A^3-B^3)=(A-B)\cdot(A^2+AB+B^2)}$

Vamos começar com a diferença de dois quadrados no numerador, vamos reescrever a expressão $(\sqrt{9+2x}-5)$ de $(A-B)$ e multiplicar toda a função em cima e embaixo por $(A+B)$ para termos a diferença de dois quadrados

Usaremos isso para eliminar as raízes e assim simplicar a expressão que causa indeterminação

$\large\text{$\lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\right)\cdot \frac{\sqrt{9+2x}+5 }{\sqrt{9+2x}+5} \Rightarrow $}\\\\\\\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{9+2x}^2-5^2 }{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5) }\Rightarrow \lim_{x\to8}\frac{9+2x-25}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)} \Rightarrow$ }$

$\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{2x-16}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)} \Rightarrow\lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)} $ }$

Agora vamos usar a diferença de cubos no denominador

$\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)}\Rightarrow \lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)}\cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x} +4 }{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x} +4}\Rightarrow $ }\\\\\\\large\text{$ \lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4 )}{(\left(\sqrt[3]{x}\right)^3-(2)^3)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)} \Rightarrow $}$

$\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4 )}{(x-8)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)}$}$

Veja que temos $(x-8)$ em cima e embaixo então podemos simplifica-los entre si e depois não haverá mais indeterminação. Então, podemos substituir X pro 8

$\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4 )}{(x-8)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)}\Rightarrow\lim_{x\to8}\frac{2\cdot (\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4 )}{(\sqrt{9+2x} +5)}\Rightarrow \frac{2\cdot (\sqrt[3]{8^2}+2\sqrt[3]{8}+4 )}{(\sqrt{9+2\cdot 8} +5)} $}$

$\large\text{$\frac{2\cdot (\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4 )}{(\sqrt{25} +5)}\Rightarrow \frac{2\cdot (4+2\cdot2+4 )}{(5 +5)}\Rightarrow\frac{24}{10}\Rightarrow \boxed{\dfrac{12}{5} } $}$