Matéria: Matemática
Autor: geloimdabahia
Perguntado 2 anos atrás

(ITA - 2018)

Encontre o conjunto solução S ⊂ R da inequação exponencial:
$\Large\text{${3^{x\:-\:2} + \sum\limits_{k=1}^{4}3^{x+k} \leq \frac{1081}{18} }$}$

Mostre os cálculos.

gabrielcguimaraes: Se fosse 1081/81 teria solução... rsrsrs

gabrielcguimaraes: Digamos, a outra ter até tem, mas eu não sei resolver.

gabrielcguimaraes: Procurei na internet, a resposta é aquilo lá só que isolando x por meio de logaritmos (os quais eu não sei nada sobre).

geloimdabahia: Ah, não tem problema, eu enviei a pergunta pois o meu professor não me ensinou direito sobre somatório e me mandou isso para fazer como treino para terminar minha matéria sobre logarítmos e exponenciais, mas não sabia nem por onde começar rsrsrs.

geloimdabahia: Eu apenas gostaria de um ponto de vista diferente daquele oferecido pela internet :)

geloimdabahia: Mas você fez certinho, só passava o três como base de um log, que ficaria x é menor ou igual a log3 1/2, que teríamos essa resposta S = {x e R / x "é menor ou igual a" log3 1/2}.

gabrielcguimaraes: Certo :)

gabrielcguimaraes: Só não me ficou claro, já entendeu como é o somatório então?

geloimdabahia: Ainda não, estava justamente aguardando uma resposta a respeito... Mas, se quiser explicar por aqui, fique à vontade:)

geloimdabahia: É que a resposta eu já sei, mas como chegar a ela que são outros quinhentos...

Respostas

respondido por: gabrielcguimaraes

$3^{x-2} + \sum\limits_{k=1}^4 3^{x+k} \leq \dfrac{1081}{18} \\\\3^{x-2} + 3^{x+1} + 3^{x+2} + 3^{x+3} + 3^{x+4} \leq \dfrac{1081}{18}\\\\3^{x-2} (1 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6) \leq \dfrac{1081}{18}\\\\3^{x-2} (1 + 3^3(1 + 3^1 + 3^2 + 3^3))\leq \dfrac{1081}{18}\\\\3^{x-2} (1 + 27 (1 + 3 + 9 + 27))\leq \dfrac{1081}{18}\\\\3^{x-2} (1 + 27 \cdot 40)\leq \dfrac{1081}{18}\\\\3^{x-2} \cdot 1081 \leq \dfrac{1081}{18}\\\\3^{x-2} \leq \dfrac{1}{18} \\\\3^2 \cdot 3^{x-2} \leq 3^2 \cdot \dfrac{1}{18} \\\\$

$3^x \leq \cfrac{1}{2}$

O qual pode ser escrito como um logaritmo (não sei fazê-lo, mas você mesmo já colocou nos comentários que sabe).

gabrielcguimaraes: O que permitiria, por exemplo, haver colocado 3^x em evidência já desde o início:
(Vou colocar E maiúsculo como o somatório com k de 1 até 4):
E 3^{x+k}
= 3^x * (E 3^k)

geloimdabahia: NOSSA, OBRIGADO! AGRADEÇO MUITO!!!! SÉRIO, MUITO OBRIGADO, que Deus o abençoe grandemente!

gabrielcguimaraes: Nossa kk k kk k k, de nada, se precisar de mais algo só chamar

geloimdabahia: Valeu!!!! :)

gabrielcguimaraes: :))

gabrielcguimaraes: A propósito, não esquece que depois de amanhã é a OBMEP rsrsrs

geloimdabahia: rsrsrs ainda não vou participar não, preciso concluir meu estudos para entender melhor alguns assuntos, mas quem sabe um dia... Mas espero que você consiga OURO :D

gabrielcguimaraes: Obrigado :DD, também espero conseguir!!

Nitoryu: excelente grabiel :D

gabrielcguimaraes: Obrigado Nit :))

respondido por: auditsys

Resposta:

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