Question

Lista de exercícios de limites. UFRN
Professor: Paulo Roberto

Questão 1 item 7)

$\large\lim_{x\to p}\left(\dfrac{x^n-p^n}{x^m-p^m} \right)$

Answer 1

Usando a diferença de dois termos elevados a uma constante qualquer Podemos concluir que quando X tende a P a função tenderá para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\frac{n\cdot p^{n-1}}{m\cdot p^{m-1}} }} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\lim _{x\to p}\left(\dfrac{x^n-p^n}{x^m-p^m}\right)$

Perceba que quando X tende P a função resultará em uma indeterminação

$\large\lim _{x\to p}\left(\dfrac{x^n-p^n}{x^m-p^m}\right)\Rightarrow \left(\dfrac{p^n-p^n}{p^m-p^m}\right)\rightarrow\dfrac{0}{0} ?$

Então temos que usar alguma propriedade matemática que faça essa função não tender a uma indeterminação

Para isso vamos usar o produto notável da diferença de dois termos elevados ao mesmo expoente

Veja os exemplos a seguir

$(a^1-b^1)=(a^1-b^1)\\\\(a^2-b^2)=(a-b)\cdot (a^1+b^1)\\\\(a^3-b^3)=(a-b)\cdot (a^2+a^1 b^1+b^2)\\\\(a^4-b^4)=(a-b)\cdot (a^3+a^2b^1+a^1b^2+b^3)\\\\(a^5-b^5)=\left(a-b\right)\cdot \left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)$

Logo por indução podemos concluir que

$\boxed{(a^n-b^n)=\left(a-b\right)\cdot \left(a^{n-1}+a^{n-2}b+.~.~.~+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)}$

$\boxed{(a^m-b^m)=\left(a-b\right)\cdot \left(a^{m-1}+a^{m-2}b+.~.~.~+ab^{m-2}+b^{m-1}\right)}$

Agora com isso em mente, vamos resolver o nosso limite

Lembrando que o A do produto notável será o X da questão e o B será o P da questão

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\frac{x^n-p^n}{x^m-p^m}\right)\Rightarrow \lim _{x\to p}\left(\frac{(x-p) \cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}p+.~.~.~+xp^{n-2}+p^{n-1}\right)}{(x-p)\cdot \left(x^{m-1}+x^{m-2}p+.~.~.~+xp^{m-2}+p^{m-1}\right)}\right)\Rightarrow }$

Simplificando o X-P do numerador com o denominador temos

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\frac{(x-p) \cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}p+.~.~.~+xp^{n-2}+p^{n-1}\right)}{(x-p)\cdot \left(x^{m-1}+x^{m-2}p+.~.~.~+xp^{m-2}+p^{m-1}\right)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \boxed{ \lim _{x\to p}\left(\frac{\left(x^{n-1}+x^{n-2}p+.~.~.~+xp^{n-2}+p^{n-1}\right)}{ \left(x^{m-1}+x^{m-2}p+.~.~.~+xp^{m-2}+p^{m-1}\right)}\right)} }$

E agora perceba que não teremos mais nenhuma expressão que causa indeterminação basta substituirmos X por P e ver o resultado

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\dfrac{\left(x^{n-1}+x^{n-2}p+.~.~.~+xp^{n-2}+p^{n-1}\right)}{ \left(x^{m-1}+x^{m-2}p+.~.~.~+xp^{m-2}+p^{m-1}\right)}\right) }$

$\large\text{ \left(\dfrac{\left(p^{n-1}+p^{n-2}\cdot p+.~.~.~+p\cdot p^{n-2}+p^{n-1}\right)}{ \left(p^{m-1}+p^{m-2}\cdot p+.~.~.~+p\cdot p^{m-2}+p^{m-1}\right)}\right) }$

$\large\text{ \left(\dfrac{\left(p^{n-1}+p^{n-2+1}+.~.~.~+ p^{n-2+1}+p^{n-1}\right)}{ \left(p^{m-1}+p^{m-2+1}+.~.~.~+p^{m-2+1}+p^{m-1}\right)}\right) }$

$\large\text{ \left(\dfrac{\left(p^{n-1}+p^{n-1}+.~.~.~+ p^{n-1}+p^{n-1}\right)}{ \left(p^{m-1}+p^{m-1}+.~.~.~+p^{m-1}+p^{m-1}\right)}\right) }$

$\large\text{ \boxed{\left(\dfrac{n\cdot p^{n-1}}{ m\cdot p^{m-1}}\right)} }$

Assim concluímos que quando X tende P a função tenderá para $\large\text{ \boxed{\left(\dfrac{n\cdot p^{n-1}}{ m\cdot p^{m-1}}\right)} }$

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