Question

Em um triângulo retângulo, o produto de seus catetos é três vezes sua hipotenusa. Calcule a altura em relação ao hipotensor.

Answer 1

Para que o produto dos catetos seja o triplo da hipotenusa, a altura relativa à hipotenusa deve ser 3.

Como encontrar a altura em relação à hipotenusa neste triângulo?

Se os catetos do triângulo retângulo são 'AB' e 'BC' e a hipotenusa é 'AC', temos AB * BC = 3*AC ( o produto entre os catetos é o triplo da hipotenusa ), podemos começar levando em consideração conta que traçar a altitude em relação à hipotenusa BD cria triângulos semelhantes ABD e BDC, que por sua vez são semelhantes a ABC.

Aplicando a relação de similaridade entre ABD e ABC temos:

$\frac{AC}{BC} = \frac{AB}{BD}$

Se substituirmos a relação entre AB, BC e a hipotenusa AC, obtemos:

$AB \times BC = 3.AC \\ \\ AC = \frac{AB \times BC }{3} \\ \\ \frac{AB \times BC }{3BC} = \frac{AB}{BD} \\ \\ \frac{1}{3} = \frac{1}{BD} \\ \\ BD = 3$