Várias técnicas e métodos são estudados para determinar se uma série é ou não convergente. De acordo com Jesus Carlos da Mota, no artigo Minicurso series infinitas, tem-se:
‘’As séries numéricas são estudadas em qualquer curso de graduação em matemática. Séries simples como as geométricas são estudadas ainda no ensino médio através das progressões geométricas. Em geral é uma questão difícil calcular a soma de uma série infinita. Uma questão que poderia ser mais fácil é a de determinar se a série converge ou não, isto é, se a soma infinita é igual a um determinado número ou não.’’
Assim, a determinação da soma de uma serie infinita pode ser uma questão complexa, que exige uma visão e conhecimento sobre os conceitos básicos de series. Por exemplo, uma série infinita, que aparentemente parece ser simples, mas que pode ocupar um bom tempo para ser resolvido, é serie S = 1-1+1-1+1-1+...
Proposta de Atividade
Para resolver esse problema, solicitamos que você apresente um texto com a investigação sobre os seguintes itens:
I. Qual seria o método para resolver a série?
II. O valor da soma é único ou pode ser possível encontra outro valor?
III. Seria possível apresentar esta soma para uma turma de ensino médio? Como seria a sua abordagem para mostrar este exercício?
IV. Você conhece outra série que apresente uma complexidade de algum nível como está serie que foi apresentada?
Respostas
Em resumo podemos afirmar sobre a serie S = 1-1+1-1+1-1+... que :
- I)Os métodos seriam a Soma Cesáro e Soma telescópica
- II)É possível encontrar um outro valor, mesmo que não seja um resultado correto
- III)Sim é possível basta apresentar a Soma telescópica e a definição de divergência e convergência.
- IV)Não
Série de Grandi
Esta é uma série alternada feita de um único número positivo 1. Denotemos a soma até n termos da série por S(n), então vemos que, S(n) = 0, se n for par & S(n) =1, se n for ímpar. Portanto, como n ——> ∞ , lim S(n) = 0, ou 1, conforme n se aproxima de ∞ pelo modo par ou pelo modo ímpar. Então o limite da soma parcial S(n) é finito mas não definido . Portanto, a série é divergente.
Uma outra forma de resolvermos essa série gerando um novo resultado é a seguinte: Em matemática, a série infinita 1+1–1+....1–1+1-.... também escrita como:
É uma série divergente, o que significa que falta uma soma no sentido usual. Por outro lado, sua soma Cesáro é 1/2.
Um método óbvio para atacar a série: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... é tratá-lo como uma série telescópica e realizar as subtrações no local:
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.
Por outro lado, um procedimento de escalonamento semelhante leva ao resultado aparentemente contraditório
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.
Assim, aplicando parênteses à série de Grandi de diferentes maneiras, pode-se obter 0 ou 1 como "valor". Tratando a série de Grandi como uma série geométrica divergente, podemos usar os mesmos métodos algébricos que avaliam séries geométricas convergentes para obter um terceiro valor:
S = 1 − 1 + 1 − 1 + ..., então, 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + ...) = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = S
- 1 - S = S
- 1 = 2*S,
resultando em S = 1/2. A mesma conclusão resulta do cálculo de −S, subtraindo o resultado de S e resolvendo 2S = 1.
Assim, pode-se chegar a duas conclusões:
- A série 1 − 1 + 1 − 1 + ... não tem soma.
- Mas sua soma deve ser 1/2.
Saiba mais sobre serie divergente e convergente:https://brainly.com.br/tarefa/47841570#:~:text=Resposta%20verificada%20por%20especialistas&text=Onde%20temos%20que%20se%20L,1%20a%20s%C3%A9rie%20ir%C3%A1%20divergir.&text=Temos%20ent%C3%A3o%20que%20o%20limite,essa%20s%C3%A9rie%20%C3%A9%20absolutamente%20convergente
#SPJ1
