Question

Qual a resposta da questão; A taxa de crescimento do número de usuarios da internet y (em milhões) no mundo de 1991 a 2004 pode ser modelada por dy dx = −0, 25x^3 + 5, 319x^2 − 19, 34x + 21, 03, em que x é o tempo em anos, com x = 1 correspondendo a 1991. O numero de usuarios da internet em 2004 era de 863 milhões, isto é, y(14) = 863. (Fonte: International Telecommunication Union). Determine o modelo para o numero de usuarios da internet no mundo?
A taxa de crescimento do n´umero
de usu´arios da internet y (em milh˜oes) no mundo de 1991
a 2004 pode ser modelada por
dy
dx = −0, 25x
3 + 5, 319x
2 − 19, 34x + 21, 03,
em que x ´e o tempo em anos, com x = 1 correspondendo
a 1991. O n´umero de usu´arios da internet em 2004 era
de 863 milh˜oes, isto ´e, y(14) = 863. (Fonte: International Telecommunication Union). Determine o modelo
para o n´umero de usu´arios da internet no mundo.

Answer 1

Resposta:

Resolvamos a equação diferencial do problema:

$\frac{dy}{dx} = -0,25x^3 + 5,319x^2 - 19,34x + 21,03\\\\\Longleftrightarrow dy = \left(-0,25x^3 + 5,319x^2 - 19,34x + 21,03 \right) dx\\\\\Longleftrightarrow \int dy = \int \left(-0,25x^3 + 5,319x^2 - 19,34x + 21,03 \right)dx\\\\\Longleftrightarrow y = -\frac{0,25}{4}x^4 + \frac{5,319}{3}x^3 - \frac{19,34}{2}x^2 + 21,03x + C\\\\\Longleftrightarrow y = -0,0625x^4 + 1,773x^3 - 9,67x^2 + 21,03x + C$

Calculemos o valor da constante de integração $C$, sabendo que $y(14) = 863:$

$y(14) = 863 = -0,0625\cdot 14^4 + 1,773 \cdot 14^3 - 9,67 \cdot 14^2 + 21,03 \cdot 14 + C\\\\\Longleftrightarrow 863,212 + C = 863\\\\\Longleftrightarrow C = -0,212.$

Assim, o modelo procurado é dado pela seguinte expressão:

$\boxed{y = -0,0625x^4 + 1,773x^3 - 9,67x^2 + 21,03x - 0,212}$

onde $y$ representa o número de usuários da internet no mundo, em milhões, e $x$ é um número que representa o ano, obtido por meio da seguinte expressão:

$x = ano - 1990.$