Question

Um sistema homogêneo é aquele em que todas as equações do sistema são iguais a zero. Este tipo de sistema pode possuir uma única solução, chamada de solução trivial, ou pode possuir infinitas soluções. Neste último caso, o vetor solução do sistema é representado por um vetor algébrico. O sistema abaixo é um sistema homogêneo.



Com relação à situação descrita, classifique as afirmativas em verdadeira ou falsa.


I. A solução trivial, X = [0,0,0], é a única solução para o sistema.

II. O sistema possui infinitas soluções expressas pelo vetor X = [-3t, -2t, t].

III. O vetor X = [-1, 1/3, -2/3] é uma solução para o sistema.

IV. O vetor X = [-3, -2, 1] é uma solução para o sistema.


Assinale a sequência correta.


Alternativas

Alternativa 1:

F-F-V-F


Alternativa 2:

V-F-V-F


Alternativa 3:

F-V-V-V


Alternativa 4:

F-V-F-V


Alternativa 5:

V-F-F-F

Answer 1

Resolvendo o sistema de equações lineares homogêneo dado na questão, concluímos que a sequência correta é a dada na alternativa 1.

Sistema de equações lineares homogêneo

Para analisar quais afirmações dadas na questão proposta são verdadeiras, vamos primeiro resolver o sistema de equações lineares homogêneo dado:

2x + 4y - z = 0

x + 5y + z = 0

-x + y + 2z = 0

z = 2x + 4y

z = -x - 5y

2x + 4y = -x - 5y

3x = -9y

x = -3y

z = 2x + 4y

z = -6y + 4y

z = -2y

Portanto, as soluções podem ser expressas na forma (-3y, y, -2y) = y*(-3, 1, -2). Vamos analisar as afirmações dadas na questão:

• Como toda tripla (-3y, y, -2y) é solução, temos que, a afirmação I é falsa.
• O vetor (-3, -2, 1) não é um múltiplo de (-3, 1, -2), portanto, a afirmação II é falsa.
• O vetor (-1, 1/3, -2/3) é igual a 1/3(-3, 1, -2). Ou seja, a afirmação III é verdadeira.
• A tripla (-3, -2, 1) não pode ser escrita na (-3y, y, -2y), portanto, não é uma solução do sistema de equações dado e a afirmação IV é falsa.

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