Question

41 (Vetores e Geometria Analítica 2ªed). O ponto A é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B, C e D. Sendo AA' uma diagonal do paralelepípedo, determinar o ponto A', para:
A(3, 5, 0), B(1, 5, 0), C(3, 5, 4) e D(3, 2, 0)​

Answer 1

✅ Utilizando-se das operações provenientes da construção do espaço dos vetores, V³, o ponto A' desejado corresponde a terna de números reais A' = (1, 2, 4)

 

ℹ️ Note que apenas visualizando os pontos, é possível responder a questão. No entanto, isso servirá apenas como uma verificação da resposta final.

 

⚠️₁ Não irei construir a entidade geométrica vetor, porém isso permite definir precisamente tal conceito. É uma demonstração formal e longa, entretanto sua compreensão é válida, pois você ficará livre para operar com um novo elemento matemático de forma natural.

 

☁️₁ Definição precisa de vetor: Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados, isto é, um vetor não é único. Tal elemento é dotado de um módulo (comprimento), direção (sobre a mesma reta suporte) e sentido (só faz sentido falar em sentido se os vetores tiverem a mesma direção). Notação $\rm \vec{u} \in \mathbb{R}^n,~ \vec{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$.

 

⚠️₂ Logicamente, em mais de 3 dimensões o conceito ficará abstrato.

 

☁️₂ Adição de vetores: A soma de vetores é dada pela soma algébrica entre as coordenadas. Há duas regras práticas que provém da definição, são elas a regra do triângulo e a regra do paralelogramo, as quais são equivalentes de certa forma. No geral, seja $\rm \vec{u} = (u_1, u_2)$ e $\rm \vec{v} = (v_1, v_2)$ vetores do plano, então a soma

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm \overrightarrow{\rm u} + \overrightarrow{\rm v} = (u_1, u_2) + (v_1, v_2) = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) \qquad}}}$

 

☁️₃ Soma de ponto com vetor: A soma de um ponto com um vetor é um ponto e em uma abordagem física, pode ser interpretada como um deslocamento. A subtração de pontos é um vetor.

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm P_1 = P_2 + \overrightarrow{\rm v} \Leftrightarrow \overrightarrow{\rm v} = P_1 - P_2 = \overrightarrow{\rm P_1P_2} \qquad}}}$

 

✍️ Solução: Dados os pontos $\rm \{A(3, 5, 0),~B(1,5,0),~C(3,5,4),~D(3,2,0)\} \in \mathcal{E}^3$, observe que $\rm \overrightarrow{\phi}_1 = \overrightarrow{\rm AB},$, $\overrightarrow{\phi}_2 = \overrightarrow{\rm AC}$ e $\overrightarrow{\phi}_3 = \overrightarrow{\rm AD}$ formam uma base do espaço vetorial euclidiano. Dessa forma, é possível escrever qualquer vetor do espaço como combinação linear dos vetores da base.

 

Logo, utilizando-se dos conceitos apresentados e da imagem anexada, teremos:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \overrightarrow{\rm AA'} = \overrightarrow{\rm u} &=\rm \overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\phi_2} \\\\&=\rm \left(\overrightarrow{\phi_1} + \overrightarrow{\phi_3}\right) + \overrightarrow{\phi_2} \\\\&=\rm \overrightarrow{\phi_1} + \overrightarrow{\phi_2} + \overrightarrow{\phi_3} \\\\&=\rm (B-A) + (D-A) + (C-A) \\\\&=\rm \left( (1,5,0) - (3,5,0) \right) + \left( (3,2,0) - (3,5,0) \right) + \left( (3,5,4) - (3,5,0) \right) \\\\&=\rm (-2, 0, 0) + (0,-3,0) + (0,0,4) \\\\&=\rm (-2,-3,4) \end{aligned}\\\\{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: \overrightarrow{\rm AA'} = \overrightarrow{\rm u} = (-2, -3, 4)}}}}\end{array}$

 

Portanto, via soma de ponto com vetor, o ponto A' é

$\large\begin{array}{lr}\rm \overrightarrow{\rm u} = \overrightarrow{\rm AA'} \\\\\rm \overrightarrow{\rm u} = A' - A \\\\\rm A' = \overrightarrow{\rm u} + A \\\\\rm A' = (-2,-3,4) + (3,5,0) \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: A' = (1,2,4) }}}}\\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array}$

 

Esse será o resultado.

 

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre operações com vetores:

• brainly.com.br/tarefa/1458977

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$