Question

Se ẞ₁ = {(−1,1), (1,1)} e ß₂ = {(√3, 1), (√3, −1)} são bases
ordenadas do R² ache a matriz mudança de base [1]₂

Anexado as opções de respostas.

Answer 1

A matriz mudança de base da base B1 para a base B2 é a seguinte:

$M(Id)_{\beta_1\beta_2}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}&\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\\\\-\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\end{array}\right]$

Matriz de mudança de base entre as duas bases do plano cartesiano

Para determinar a matriz de mudança de base de $\beta_1$ para $\beta_2$, devemos encontrar as coordenadas dos vetores da base $\beta_1$ na base $\beta_2$. Podemos fazer isso estabelecendo ambos vetores da primeira base como uma combinação linear dos vetores da segunda base. Começamos achando as coordenadas de (-1,1) na segunda base

$a(\sqrt{3},1)+b(\sqrt{3},-1)=(-1,1)\\\\\sqrt{3}a+\sqrt{3}b=-1\\a-b=1\\\\\sqrt{3}a+\sqrt{3}b=-1\\\sqrt{3}a-\sqrt{3}b=\sqrt{3}\\\\2\sqrt{3}a=-1+\sqrt{3}\\\\a=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$

Agora, subtraindo membro por membro tem-se:

$\sqrt{3}b+\sqrt{3}b=-1-\sqrt{3}\\\\2\sqrt{3}b=-1-\sqrt{3}\\\\b=-\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$

As coordenadas desse vetor na segunda base são:

$[(-1,1)]_{B_2}=\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}\\\\-\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\end{array}\right]$

Agora, devemos calcular as coordenadas do vetor (1,1) na segunda base:

$a(\sqrt{3},1)+b(\sqrt{3},-1)=(1,1)\\\\\sqrt{3}a+\sqrt{3}b=1\\a-b=1\\\\\sqrt{3}a+\sqrt{3}b=1\\\sqrt{3}a-\sqrt{3}b=\sqrt{3}\\\\2\sqrt{3}a=1+\sqrt{3}\\\\a=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$

Se subtrairmos agora as equações obtidas, membro por membro tem-se:

$\sqrt{3}b+\sqrt{3}b=1-\sqrt{3}\\\\2\sqrt{3}b=1-\sqrt{3}\\\\b=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$

As coordenadas desse outro vetor na segunda base é:

$[(1,1)]_{B_2}=\left[\begin{array}{c}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\\\\\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\end{array}\right]$

Com estas coordenadas podemos construir a matriz de mudança de base entre a base 1 e a base 2 do plano cartesiano:

$M(Id)_{\beta_1\beta_2}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}&\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\\\\-\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\end{array}\right]$

Saiba mais sobre a matriz de mudança  de base em https://brainly.com.br/tarefa/14631255

#SPJ1