Matéria: Matemática
Autor: OxyMyGody101
Perguntado 2 anos atrás

O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo $[cos(pi/8) + isen (pi/8)]^n$ é negativa é:

Gabarito: 9

Gostaria da resolução

Respostas

respondido por: jlbellip5dxpx

n = 9

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O conjunto dos números Complexos surgiu da necessidade de se fazer operações matemáticas não suportadas pelo conjunto dos Reais.

A ideia básica é a existência de raiz de índice par de um número negativo:

i² = -1 ou i = √-1

No nosso caso, o complexo $[cos\frac{\pi}{8}+isen\frac{\pi}{8}]^n$ tem como ponto de interesse o ângulo $\frac{\pi}{8}$ .

Marcando todos os seus múltiplos na circunferência é possível identificar que a 9ª marcação é onde surge o primeiro negativo na parte imaginária (ver figura).

De n = 1 até n = 8 a parte imaginária é ≥ 0

De n = 9 até n = 16 a parte imaginária é ≤ 0

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Anexos:

OxyMyGody101: Não explicaste a resolução da questão. "Marcando todos os seus múltiplos na circunferência é possível identificar que a 9ª marcação é onde surge o primeiro negativo na parte imaginária" Sim eu entendo isso, mas daonde surge esta equivalência entre elevar um número complexo da forma (cos(x)+isin(x)) ao expoente n e multiplicar esse mesmo x por n?

jlbellip5dxpx: A razão para termos a forma trigonométrica de um número complexo é exatamente para não se fazer os desenvolvimentos do tipo "quadrado da soma", "cubo da soma", ..., "nono da soma", ..., o que seria loucura.
Tanto na potenciação como na radiciação de complexos o ângulo do número complexo serve de unidade de medida ao longo da circunferência trigonométrica e indica exatamente onde estão os números com expoentes ou raízes com n = 1, n = 2, ..., n = 9, ...

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