Question

Suponha que durante um certo período do ano a temperatura t

Answer 1

Com base na função de temperatura dada na superfície do lago, tem-se que:

a) A variação de temperatura será de 8°C num período de 24h

b) O momento do dia que ocorre a temperatura de 23°C é às 14h, com base na função de temperatura dada.

Função da temperatura em um lago

Uma função, na matemática, é dada como uma ferramenta usada para transformar elementos de um conjunto A para um conjunto B com base na lei de formação dessa função.

Por exemplo: Função que multiplica elementos do conjunto dos números reais por 2. Então: f(x)=2x

Para qualquer valor de x escolhido, haverá um valor para f(x) que estará sendo multiplicado por 2.

Para a questão dada, temos que na superfície de um lago a temperatura em relação ao tempo tem a função:

$f(t)=21-4\cos(\frac{ \pi.t}{12})$

E é pedido:

a) Variação de temperatura num período de 24h.

Para isso, basta calcular a temperatura máxima no lago, e a temperatura mínima.

Deve-se saber que o cosseno varia entre +1 e -1, portanto, o valor máximo da função se dará quando cosseno for igual a 1, assim:

f(t)=21-4*1
f(t)=17°C para o valor mínimo.

Para cosseno=-1:

f(t)=21-4*(-1)
f(t)=25°C

Portanto, a variação de temperatura num período de 24h é de 25°C-17°C=8°C

b) Hora do dia que a temperatura atingirá 23°C

Para isso, basta substituir f(t) por 23°C

$23\°C=21-4\cos(\frac{\pi.t}{12})\\\\2=-4cos(\frac{\pi.t}{12})\\\\cos(\frac{\pi.t}{12})=-\frac{1}{2}$

Neste passo, utiliza-se o arco-cosseno:

$\frac{\pi.t}{12}= \arccos(-1/2)\\\\\frac{\pi.t}{12}=2,0943\\\\t=8h$

Portanto, a temperatura será máxima na superfície do lago em 8h após as 6h, como dito no enunciado. Então:

6h+8h=14h

Então, a temperatura será de 23°C às 14h.

Segue a questão completa:

"Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita pela função

$f(t)=21-4\cos(\frac{ \pi.t}{12})$

sendo t o tempo em horas medido a partir das 06h00 da manhã.

a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?

b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23ºC?"

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