Suponha f contínua em [1,5] e que as únicas soluções da equação f(x) = 6 são x = 4 e x = 1. Se f(2) = 8, explique por que f(3) é maior do que 6.
Respostas
6 pertence ao mesmo intervalo, então há pelo menos um x entre 2 e 3, f(x) = 6. Uma contradição porque a função assume o valor 6 somente quando x = 1 e x = 4. Portanto, nossa suposição estava errada e f(3) > 6
Teorema: (Teorema do valor intermediário)
O teorema do valor intermediário afirma que se “f” for uma função contínua sobre um intervalo fechado [a, b] com seu domínio tendo valores f(a) e f(b) nas extremidades do intervalo, então a função toma qualquer valor entre os valores f(a) e f(b) em um ponto dentro do intervalo. Esta teoria é explicada de duas maneiras diferentes:
- Declaração 1: Se k for um valor entre f(a) e f(b), ou seja, ou f(a) < k < f(b) ou f(a) > k > f(b), então existe pelo menos um número c dentro de a para b, ou seja, c ∈ (a, b) de tal forma que f(c) = k
- Declaração 2: O conjunto de imagens da função no intervalo [a, b], contendo [f(a), f(b)] ou [f(b), f(a)], ou seja, ou f([a, b]) ⊇ [f(a), f(b)] ou f([a, b]) ⊇ [f(b), f(a)]
Vamos provar o primeiro caso do primeiro enunciado do teorema do valor intermediário, pois a prova do segundo é semelhante. Usando a propriedade de completude dos números reais. A prova de “f(a) < k < f(b)” é dada abaixo:
Suponhamos que A seja o conjunto de todos os valores de x no intervalo [a, b], de modo que f(x) ≤ k. Aqui A é suposto ser um conjunto não vazio, pois possui um elemento “a” e também A é limitado acima pelo valor “b”.
Assim, pela propriedade de completude, temos que “c” é o menor valor que é maior ou igual a cada elemento de A. Assim, podemos dizer que f(c) = k. Dado que f é contínua. Então vamos considerar a ε > 0, existe “a δ > 0” tal que: | f(x) – f(c) | < ε para cada | x – c | < δ. Isso nos dá f(x) – ε < f(c) < f(x) + ε
Para cada x dentro de c – δ e c + δ. Assim, temos valores de x situados entre c e c -δ, contidos em A, tais que: f(c) < (f(x) + ε) ≤ (k + ε) ——– (1)
Da mesma forma, valores de x entre c e c + δ que não estão contidos em A, tais que: f(c) > (f(x) – ε) > (k − ε) ——–(2)
Combinando ambas as relações de desigualdade, obtenha k – ε < f(c) < k + ε para cada ε > 0. Assim, o teorema está provado e podemos responder o exercício.
Por absurdo, suponha que f(3) = k < 6 (a equação é contraditória porque se diz que 3 não é uma solução de f(x) = 6, então o teorema do valor médio é aplicado ao intervalo [2, 3]. Para cada y no intervalo [k, 8] há pelo menos um x, então: f(x) ∈ [k,8]
Observe que 6 pertence ao mesmo intervalo, então há pelo menos um x entre 2 e 3, f(x) = 6. Uma contradição porque a função assume o valor 6 somente quando x = 1 e x = 4. Portanto, nossa suposição estava errada e f(3) > 6
Saiba mais sobre o teorema do valor intermediário:https://brainly.com.br/tarefa/18183187#:~:text=Resposta%20verificada%20por%20especialistas&text=O%20Teorema%20do%20Valor%20Intermedi%C3%A1rio%20diz%20que%3A,c)%20%3D%20k.%22.
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