Question

( Log X)² - Log X -2 = 0

Resolver

Answer 1

Com base na resolução da equação logarítmica concluímos que o valor é $\textstyle \sf \text { \sf S = \left\{ 100, \: \: \dfrac{1}{100} \right\} }$.

Equação logarítmica, que são aquelas que apresentam a variável na base, no logaritmando ou no logaritmo. O logaritmo é um expoente

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log_a \: b = x \: \: \Leftrightarrow a^x = b }$

Condições de existência:

1. b > 0: o logaritmando deve ser um número positivo.
2. 0 < a ≠ 1: a base deve ser um número positivo diferente de 1.

Observação:

Quando o logaritmo não apresenta base é porque a base é 10.

Dados fornecidos pelo enunciado

$\Large \displaystyle \mathsf{ (\log\: x)^2 - \log \: x - 2 = 0 }$

Solução:

De acordo com a definição de logaritmos, o logaritmando deve ser positivo, razão pela qual devemos impor a seguinte restrição: x > 0.

$\Large \displaystyle \mathsf{ (\log\: x)^2 - \log \: x - 2 = 0 }$

Fazendo log x = t, podemos escrever:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{t^{2} - t - 2 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta = b^{2} -4ac } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-2) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 1 + 8 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{\Delta = 9 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ t = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,(-1) \pm \sqrt{ 9 } }{2\cdot 1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ t = \dfrac{1 \pm3 }{2} \Rightarrow\begin{cases} \sf t_1 = &\sf \dfrac{1 + 3}{2} = \dfrac{4}{2} = \;2 \\\\ \sf t_2 = &\sf \dfrac{1 - 3}{2} = \dfrac{- 2}{2} = - 1\end{cases} } }$

Para t = 2, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log \: x = t \Rightarrow \log\: x = 2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = (10)^{2} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 100 }$

Para t = - 1 , temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log \: x = t \Rightarrow \log\: x = -1 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = (10)^{-1} \Rightarrow x = \left( \dfrac{1}{10} \right)^1 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = \dfrac{1}{100} }$

Como os dois valore de x encontrados satisfazem a restrição, temos:

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = \left\{ 100, \: \: \dfrac{1}{100} \right\} }$

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