Question

a solucao do sistema
x+y+z=6
4x+2y-z=5
x+3y+2z=13.

Answer 1

Fazendo por escalonamento:
Temos as equações:
x+y+z=6 
4x+2y-z=5 
x+3y+2z=13
Escrevendo as em forma de Matriz temos:

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\4&2&-1&5\\1&3&2&13\end{array}\right]$

Onde, a primeira coluna são os coeficientes de x, a segunda coluna os coeficientes de y, a terceira coluna os coeficientes de z e a quarta(última) coluna é a coluna de resultados.

Chamando nossa Matriz de A.
Pelo método de Gauss, devemos zerar as posições a21, a31 e a32 :

$A_1 \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\4&2&-1&5\\1&3&2&13\end{array}\right] \\ A_2 \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\0&-2&-5&-19\\0&2&1&7\end{array}\right] \\ A_3 \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\0&-2&-5&-19\\0&0&-4&-12\end{array}\right]$ 

Sendo:
1ª Linha⇒ Equação 1, vamos chamar de Eq1
2ª Linha⇒ Equação 2, vamos chamar de Eq2
3ª Linha⇒ Equação 3, vamos chamar de Eq3

De A1 para A2 (Primeira Parte)

Eq1(da matriz A2) ⇒ Manteve-se igual
$A_1: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]$

Eq2(da matriz A2) ⇒ (Eq1 da matriz A1) * (-4) + (Eq1 da matriz A1)
$A_1: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_1: Equacao2 = \left[\begin{array}{cccc}4&2&-1&5\end{array}\right]$
$A_2 : Equacao2 =\left[\begin{array}{cccc}0&-2&-5&-19\end{array}\right]$

Eq3(da matriz A2) ⇒ (Eq1 da matriz A1) * (-1) + (Eq3 da matriz A1)
$A_1: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_1: Equacao3 = \left[\begin{array}{cccc}1&3&2&13\end{array}\right]$
$A_2:Equacao3 =\left[\begin{array}{cccc}0&2&1&7\end{array}\right]$

Depois dessa primeira parte a matriz ficou assim:
$A_2 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\0&-2&-5&-19\\0&2&1&7\end{array}\right]$

De A2 para A3 (Segunda Parte)

Eq1(da matriz A3) ⇒ Manteve-se igual
$A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_3: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]$

Eq2(da matriz A3) ⇒ Manteve-se igual
$A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}4&2&-1&5\end{array}\right]\\ A_3: Equacao2 = \left[\begin{array}{cccc}4&2&-1&5\end{array}\right]$

Eq3(da matriz A3) ⇒ (Eq2 da matriz A2)  + (Eq3 da matriz A2)
$A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}0&-2&-5&-19\end{array}\right]\\ A_2: Equacao3 = \left[\begin{array}{cccc}0&2&1&7\end{array}\right]$
$A_3: Equacao3 = \left[\begin{array}{cccc}0&0&-4&-12\end{array}\right]$

Depois dessa primeira parte a matriz ficou assim:
$A_3 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\0&-2&-5&-19\\0&0&-4&-12\end{array}\right]$

Agora com os valores das linhas, montamos novamente as equações:
Equação1 ⇒ 1x+1y+1z=6 ⇒ x + y + z = 6
Equação2 ⇒ (-2)y+(-5)z =-19 ⇒ Multiplicando  (-1) ⇒ 2y+5z =19
Equação3 ⇒ (-4)z=-12 ⇒ Dividindo (-4) ⇒ z = 3
z = 3
2y+5z =19 ⇒ 2y + 5 * 3 = 19 ⇒ 2y = 19-15 ⇒y =4/2 ⇒ y=2
x + y + z = 6 ⇒ x = 6 - 2 -3 ⇒ x = 1