Question

O raio da base de um cilindro é 3/2 de sua altura. Qual é área lateral desse cilindro, considerando que a área total de sua superfície é de 30pi cm²?

Answer 1

Adotando R como raio da base e h como altura, então: 
R = 3/2h

A área total da superfície de um cilindro é dada pelo dobro da área da base + a área lateral: 

Atotal = 2Abase + Alateral 

Abase = πR² = (3/2h)²π
Alateral = 2πR.h = 2π(3/2h)h = 3h²π

Substituindo: 
Atotal = 2(3/2h)²π + 3h²π
30π = 2x9/4h²π + 3h²π
30π = 9/2h²π + 3h²π
Simplifica o π 
30 = 9/2h² + 3h²
30 = 9h²+6h²/2
60 = 15h² 
h² = 4 
Logo, h = 2 cm 

Substituindo a altura na expressão, encontra-se a área lateral: 

Alateral = 2πR.h = 2π 3/2h.h = 2π3/2.2.2 = 12π

Qualquer erro ou dúvida, comenta! 

*Lembrando que C = 2πR

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Nany, que é simples.

Tem-se que num cilindro pode ter as seguintes relações:

At = 2*π*r*h + 2*π*r² , em que "At" é a área total, "r" é o raio e "h" é a altura.

i) Dessa forma, como o enunciado da questão informa que o raio da base é 3/2 da sua altura, então teremos que r = (3/2)*h = 3h/2 <--- Este é o raio da base em função da altura. E considerando que a área total é igual a 30π cm² , então vamos substituir "At" por 30π e vamos substituir "r" por "3h/2", ficando assim:

30π = 2π*(3h/2)*h + 2π*(3h/2)²
30π = 2π*3h²/2 + 2π*9h²/4 ------- ou, o que é a mesma coisa:
30π = 6πh²/2 + 18πh²/4 ---- mmc entre 2 e 4 = 4. Assim, utilizando-o apenas no 2º membro, teremos;

30π = (2*6πh² + 1*18πh²)/4
30π = (12πh² + 18πh²)/4
30π = (30πh²)/4 ------ multiplicando em cruz e invertendo-se, ficaremos com:
30πh² = 4*30π
30πh² = 120π ---- se dividirmos ambos os membros por "30π", ficaremos apenas com:

h² = 4
h = +-√(4) ------ como √(4) = 2, teremos;
h = +- 2 ------ como a medida da altura não é negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

h = 2 cm .

ii) Bem, Agora que já temos a medida da altura (h = 2 cm), vamos encontrar a medida da área lateral, que é dada por:

Al = 2π*r*h ----- como o raio, conforme já vimos, é "3h/2", então ficaremos assim:

Al = 2π*(3h/2)*h ------- como h = 2, então vamos substituir, ficando:
Al = 2π*(3*2/2)*2
Al = 2π*(6/2)*2 ------ ou:
Al = 2π*(3)*2------  ou apenas:
Al = 2π*6 ----- ou apenas:
Al = 12π cm² <----- esta é a resposta. Esta é a área lateral do cilindro da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.