Question

um bloco é solto do alto de um hemisferio , a que altura ele perde contato com a superficie desse hemisferio considerado sem atrito? explique por favor :)

Answer 1

Inicialmente, a única força que age sobre o bloco (que consideraremos pontual), é o seu peso (e a reação normal). Ao começar um movimento circular, passa a estar sob a ação de uma outra força: a força centrípeta. A força normal cujo módulo era igual à força peso quando o móvel estava no topo, progressivamente vai diminuindo até zerar: neste momento o bloco perde contato com a superfície e a resultante centrípeta equivale em módulo à componente radial do peso.

No ponto em que perderá contato, teremos:
- a força peso apontando verticalmente para baixo (como sempre);
- a força centrípeta apontando radialmente no sentido do centro da semiesfera (como sempre) e a força de reação no sentido contrário;
- a força normal apontando radialmente no sentido oposto ao centro da semiesfera (porém neste caso ela é nula).

Inicialmente, a altura do móvel (h) é igual raio da semiesfera (R). Conforme o móvel desliza, sua altura dependerá do ângulo formado pelo raio. Vamos considerar que no topo este ângulo é zero e no momento em que perde contato ele é β. Neste momento então:
h = R.(cos β) ⇒ cos β = h/R

A componente radial do peso neste ponto terá módulo igual a:
Pr = P.(cos β)
 
E o módulo da reação centrípeta será:
Fc = mv²/R

Logo:
Pr = Fc
P.(cos β) = mv²/R
m.g.h/R = m.v²/R
h = v²/g

Como não há atrito, não há força dissipativa e então a energia se conserva. Sabendo disso:
- no topo o móvel tem apenas energia potencial gravitacional, uma vez que foi "solto" (velocidade inicial nula):
Epi = mgR

- no momento em que perde contato, o móvel apresenta energias potencial e cinética dadas por:
Epf = mgh
Ecf = mv²/2

Pela conservação:
mgR = mgh + mv²/2
g(R - h) = v²/2
2(R - h) = v²/g

Como vimos, h = v²/g, logo:
2R - 2h = h
3h = 2R
h = 2R/3

Como R é a altura inicial do bloco, podemos afirmar que o mesmo perderá contato com a superfície esférica quando sua altura for igual a dois terços da altura inicial.